Vollständigkeit bez. Metrik < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mo 08.06.2009 | | Autor: | reason |
Hallöchen!
Ich hoffe mir kann jemand nen Tip geben:
Ich soll soll zeigen, dass:
d(x,y)= [mm] |\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m}| [/mm] eine Metrik auf X=(0,1] definiert, bezüglich der X vollständig ist.
Mir kommt das so vor, als sei X nicht vollständig!
Begründung:
Die Folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist eine Cauchyfolge was sich so folgern lässt:
aus [mm] \bruch{1}{n}<\varepsilon \Rightarrow \bruch{1}{\varepsilon}
Andererseits geht die Folge für [mm] n\to \infty [/mm] gegen 0. DerGrenzwert 0 ist aber in X nicht enthalten, womit X einerseits nicht abgeschlossen und äquvalent dazu nichtvollständig ist.
In einem Buch hab ich ein Gegenbeispiel gefunden mit dem gezeigt wird, dass die Folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nicht vollständig auf (0,1] ist. Das ist doch genau das, was ich zeigen soll, oder? Kann es sein, dass in meiner Aufgabenstellung ein Druckfehler ist, und da "nicht vollständig" stehen müsste.
Vielen Dank schon mal für ne Antwort
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich soll soll zeigen, dass:
> d(x,y)= [mm]|\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m}|[/mm] eine Metrik auf X=(0,1]
Wie hängt denn x von n und y von m ab?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mo 08.06.2009 | | Autor: | reason |
stimmt, da war ich wohl grad wo anders.
[mm] d(x,y)=|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}| [/mm] sollte da stehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge aus X,
Wegen
[mm] $d(x_n,x_m) [/mm] = [mm] |\bruch{1}{x_n}-\bruch{1}{x_m}|$
[/mm]
ist die Folge [mm] (1/x_n) [/mm] eine Cauchyfolge im vollständigen metrischen Raum [mm] $(\IR, [/mm] |*|)$
Also ex. ein z [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] $|1/x_n [/mm] -z| [mm] \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty)$
[/mm]
Wegen [mm] 1/x_n \ge [/mm] 1 für jedes n, ist z [mm] \ge [/mm] 1, also 1/z [mm] \in [/mm] X und
[mm] $d(x_n, [/mm] 1/z) = [mm] |1/x_n [/mm] -z| [mm] \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty)$
[/mm]
Also konvergiert [mm] (x_n) [/mm] in X gegen 1/z
FRED
|
|
|
|
