Vollständigkeit von C^1[-1,1] < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich weiß, dass C[-1,1] mit der Sup Norm vollständig ist und dass [mm] C^1[-1,1] [/mm] mit Sup norm nicht vollständig ist, weil es z.b. eine funktionenfolge in [mm] C^1 [/mm] gibt die gegen |x| konvergiert.
Ich weiß auch, dass [mm] C^1[-1,1] [/mm] mit ||x||=||x||_sup+||x'||_sup vollständig ist.
Meine Frage ist jetzt, was passiert mit [mm] f_n(x)=(x^2+1/n)^{1/2} [/mm] mit dieser norm. besitzt diese folge jetzt einen Grenzwert und wenn ja welchen ?
Viel dank für die Hilfe
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Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hi,
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> ich weiß, dass C[-1,1] mit der Sup Norm vollständig ist
> und dass [mm]C^1[-1,1][/mm] mit Sup norm nicht vollständig ist,
> weil es z.b. eine funktionenfolge in [mm]C^1[/mm] gibt die gegen |x|
> konvergiert.
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> Ich weiß auch, dass [mm]C^1[-1,1][/mm] mit
> ||x||=||x||_sup+||x'||_sup vollständig ist.
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> Meine Frage ist jetzt, was passiert mit
> [mm]f_n(x)=(x^2+1/n)^{1/2}[/mm] mit dieser norm. besitzt diese folge
> jetzt einen Grenzwert und wenn ja welchen ?
Damit [mm] $f_n$ [/mm] bzgl. dieser Norm gegen ein $f$ konvergieren kann, muss [mm] $||f_n-f||_{\infty} \to [/mm] 0$ gehen. Das bedeutet, es MUSS $f(x) = |x|$ sein.
Weil die Grenzfunktion nicht in [mm] $C^{1}$ [/mm] liegt, besitzt [mm] $f_n$ [/mm] keinen Grenzwert in diesem Raum [mm] ($C_1$,$||.||$). [/mm] Du kannst also [mm] $||f_n-f||$ [/mm] auch gar nicht ausrechnen.
Demzufolge kann [mm] $(f_n)$ [/mm] keine Cauchy-Folge in diesem Raum sein. D.h. du weißt, dass egal wie groß n,m werden nicht [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f_m|| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] erreicht werden kann.
Viele Grüße,
Stefan
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Gut,
also die Problematischen Funktionen werden dadurch rausgenommen, dass es keine cauchyfolgen mehr sind und somit nur noch diffbare funktionen als GW übrig bleiben.
Danke für deine schnelle antwort.
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