Volumen Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 30.04.2009 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Pyramide mit den Punkten
A(12/4/7)
B(4/1/2)
C(0/10/3)
D(8/13/8)
S(3/5/11)
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide! |
Hallo,
wie rechne ich da am besten? Ich hab folgende Theorie, weiß aber nicht ob das richtig ist:
A,B,C,D stellen die Grundfläche dar, wobei S die Spitze der Pyramide ist.
Ich würde also [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] errechnen, und erhielte somit ja die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{BC}, [/mm] womit ich auf die Grundfläche käme. Dann müsste ich irgendwie den Mittelpunkt der Grundfläche errechnen und von dort aus dann zum Punkt S kommen, also [mm] \overrightarrow{MS}. [/mm] Dann in die Formel [mm] \bruch{G*h}{3} [/mm] einsetzen und man sollte das Volumen haben.
Wie rechne ich das jetzt praktisch? Vektoren im Raum kenn ich bisweilen nicht. Geht das überhaupt so, oder gibt es noch einen sinnvolleren Weg?
Danke und Grüße, Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Do 30.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist eine Pyramide mit den Punkten
> A(12/4/7)
> B(4/1/2)
> C(0/10/3)
> D(8/13/8)
> S(3/5/11)
>
> Berechnen Sie das Volumen der Pyramide!
> Hallo,
>
> wie rechne ich da am besten? Ich hab folgende Theorie, weiß
> aber nicht ob das richtig ist:
>
> A,B,C,D stellen die Grundfläche dar, wobei S die Spitze der
> Pyramide ist.
>
> Ich würde also [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{BC}[/mm]
> errechnen, und erhielte somit ja die Strecke [mm]\overline{AB}[/mm]
> und [mm]\overline{BC},[/mm] womit ich auf die Grundfläche käme. Dann
> müsste ich irgendwie den Mittelpunkt der Grundfläche
> errechnen und von dort aus dann zum Punkt S kommen, also
> [mm]\overrightarrow{MS}.[/mm] Dann in die Formel [mm]\bruch{G*h}{3}[/mm]
> einsetzen und man sollte das Volumen haben.
>
> Wie rechne ich das jetzt praktisch? Vektoren im Raum kenn
> ich bisweilen nicht.
Das ist ganz schlecht. Der Königsweg wäre nämlich das Spatprodukt der drei von A ausgehenden Kantenvektoren (und dann ein Drittel davon).
> Geht das überhaupt so, oder gibt es
> noch einen sinnvolleren Weg?
Deine obigen Überlegungen sind unter folgender Einshränkung sinnvoll:
1) Du weißt bereits, dass ABCD ein Rechteck ist.
2) Du weißt bereits, dass die Pyramide gerade ist, die Spitze also tatsächlich über dem Mittelpunkt des Rechtecks liegt. Wenn du das nicht weißt, handelt es sich um die Problematik "Abstand eines Punktes zu einer Ebene" (was ohne Kenntnisse über Vektoren im Raum) recht unschön zu lösen wäre).
Gruß Abakus
>
> Danke und Grüße, Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 30.04.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort. Könntest du mir den Rechenweg anhand der [mm] \IR^3 [/mm] Vektoren erläutern?
Ggf. kann ich das mit meinen Matheunterlagen abgleichen und mir da so dann beibringen. Bräuchte halt ein paar Ansätze.
Danke und Grüße, Andi
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