Volumen Tetraeders berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Do 06.01.2011 | | Autor: | Karlomon |
| Aufgabe | | Ebene E:15x+36y+20z-90=0 schneidet die drei Koordinatenachsen in den Punkten Px,Py,Pz. Der ursprucng (0;0;0) sowie die drei Oubkte (Px,Py,Pz) bilden die Eckpunkte des Tetraeders. Wie groß ist das Volumen des Teraeders? |
Hab folgendes gemacht, kann das wer überprufen?
U(0;0;0)
Px(15;0;0)
Py(0;36;0)
Pz(0;0;20)
[mm] \vec{a}=\overline{XZ}=(-15;0;20)
[/mm]
[mm] \vec{b}=\overline{XY}=(-15;36;0)
[/mm]
[mm] \vec{c}=\overline{XU}=(-15;0;0)
[/mm]
[mm] V=(1/6)|\vektor{-15 \\ 0\\20}*(\vektor{-15 \\ 36\\0}*\vektor{-15 \\ 0\\0})|
[/mm]
V=(1/6)*10800
V=1800FE
Is da schon ein fehler bei der bestimmung der punkte?
danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Karlomon,
die Aufgabenstellung irrt. Eine Dreieckspyramide ist kein Tetraeder.
Ansonsten erfüllt keiner Deiner drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen die gegebene Ebenengleichung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 06.01.2011 | | Autor: | Karlomon |
jetzt bin ich verwirrt, aber wie löse ich dann diese aufgabe?
aus meine buch entnehme ich ja das ein reguläres tetraeder alle 4 flächen aus gleichseitigen dreiecken besteht. aber das kann auch im spezialfall anders sein. nun steh ich auf dem schlauch und weiß nicht recht wie ich die aufgabe dann lösen soll?
Und wie komm ich dann auf die richtigen schnittpunkte?
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Hallo,
es ist richtig, dass ein Tetraeder aus 4 gleichseitigen Dreiecken besteht. Einer der Eckpunkte ist (0,0,0). Die drei anderen Eckpunkte sind (a,0,0), (0,b,0) und (0,0,c). Für die Koordinaten von (a,0,0) gilt:
x=a, y=0, z=0. Dies kannst du nun in die Ebenengleichung einsetzen und dann den Wert für a ermitteln. Um die beiden anderen Eckpunkte zu bestimmen, kannst du genauso vorgehen.
Viele Grüße
Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Katrin,
> es ist richtig, dass ein Tetraeder aus 4 gleichseitigen
> Dreiecken besteht.
Ja, es ist einer der fünf platonischen Körper.
Der in dieser Aufgabe definierte Körper hat allerdings keine einzige Seite, die ein gleichseitiges Dreieck wäre, es sind noch nicht einmal zwei Seiten gleich. Daher ist die Angabe "Tetraeder" äußerst irreführend.
Es handelt sich hier um eine dreiseitige Pyramide, und man muss deutlich mehr Daten ermitteln als bei einem Tetraeder, um ihr Volumen zu bestimmen. Aufgrund der besonderen Lage dreier der Seiten gibt es allerdings doch einen sehr kurzen Rechenweg, wenn man will.
> Einer der Eckpunkte ist (0,0,0). Die
> drei anderen Eckpunkte sind (a,0,0), (0,b,0) und (0,0,c).
> Für die Koordinaten von (a,0,0) gilt:
> x=a, y=0, z=0. Dies kannst du nun in die Ebenengleichung
> einsetzen und dann den Wert für a ermitteln. Um die beiden
> anderen Eckpunkte zu bestimmen, kannst du genauso vorgehen.
> Viele Grüße
> Katrin
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> Ebene E:15x+36y+20z-90=0 schneidet die drei
> Koordinatenachsen in den Punkten Px,Py,Pz. Der ursprucng
> (0;0;0) sowie die drei Oubkte (Px,Py,Pz) bilden die
> Eckpunkte des Tetraeders. Wie groß ist das Volumen des
> Teraeders?
Zur begrifflichen Klärung benutze ich die Definition von Wikipedia:
Ein Tetraeder ... (v. griech.: tetráedron = Vierflächner), auch Vierflächner oder Vierflach, ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen.
Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige (oder gleichseitige) Tetraeder gemeint, während das allgemeine Tetraeder als dreiseitige Pyramide oder dreidimensionaler Simplex bezeichnet wird.
Der in der Aufgabe beschriebene Körper ist definitiv kein regulärer Tetraeder.
> Hab folgendes gemacht, kann das wer überprufen?
>
> U(0;0;0)
> Px(15;0;0)
> Py(0;36;0)
> Pz(0;0;20)
>
> [mm]\vec{a}=\overline{XZ}=(-15;0;20)[/mm]
> [mm]\vec{b}=\overline{XY}=(-15;36;0)[/mm]
> [mm]\vec{c}=\overline{XU}=(-15;0;0)[/mm]
>
> [mm]V=(1/6)|\vektor{-15 \\ 0\\20}*(\vektor{-15 \\ 36\\0}*\vektor{-15 \\ 0\\0})|[/mm]
>
> V=(1/6)*10800
> V=1800FE
Nur ein Hinweis: Volumeneinheiten schreibt man mit V
>
> Is da schon ein fehler bei der bestimmung der punkte?
> danke schonmal
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Um die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit der Ebene zu berechnen, solltest Du Dir klarmachen, dass z.B. alle Punkte auf der x-Achse den y-Wert null und den z-Wert null haben müssen. Bezogen auf den Durchstoßpunkt der x-Achse durch die Ebene musst Du berechnen, wie groß x ist, wenn y = z = 0 ist:
[mm] $15x+36\cdot 0+20\cdot [/mm] 0-90=0$
Für die beiden anderen Achsen entsprechend.
Gruß
Pappus
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