Volumen Zylinderkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 24.06.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Der Körper K wird in Zylinderkoordinaten durch [mm] 1\le [/mm] z < [mm] \infty, [/mm] r=1/z beschrieben.
Weisen Sie nach, dass K ein endliches Volumen, aber eine unendliche Oberfläche hat. |
Hi Leute, habe Probleme mit Polarkoordinaten und deren Transformation etc.
für die Oberfläche habe ich ein skalares Oberflächenintegral benutzt, nach der Formel:
[mm] \integral_{}^{}{|\Phi_\phi \times \Phi_z| d\phi dz}
[/mm]
mein Phi ist :
[mm] \Phi=\vektor{r*cos\phi\\r*sin\phi\\z}=\vektor{\bruch{cos\phi}{z}\\ \bruch{sin\phi}{z}\\z}
[/mm]
Also ableiten + Kreuzprodukt -> [mm] \vektor{\bruch{cos\phi}{z} \\ \bruch{sin\phi}{z}\\\bruch{1}{z^3}}
[/mm]
Davon der Betrag ist [mm] \sqrt{\bruch{z^4+1}{z^6}}
[/mm]
Also sieht das ganze so aus:
[mm] \int_{1}^{\infty} \int_{0}^{2pi}{ \sqrt{\bruch{z^4+1}{z^6}}d\phi dz}
[/mm]
Habe dann als Minorante 1/z benutzt und herausgefunden, dass das Integral divergiert.
Wie integriere ich denn jetzt das Volumen? Es ist ein dreifach integral, aber wie sieht mein Phi aus? wie komme ich an die Integranten? Kann ich das mit dem Kreuzprodukt auch so machen?
Allgemein habe ich auch noch ne Frage zur Parametertransformation. Wann muss die Geschichte mit der Funktionaldeterminante benutzen? Oder basiert die obige Formel für die Oberflächenintegrale darauf?
Habe das Gesamtwerk noch nicht wirklich verstanden..
danke für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 24.06.2010 | | Autor: | kappen |
> > Der Körper K wird in Zylinderkoordinaten durch [mm]1\le[/mm] z <
> > [mm]\infty,[/mm] r=1/z beschrieben.
> > Weisen Sie nach, dass K ein endliches Volumen, aber
> eine
> > unendliche Oberfläche hat.
> > Hi Leute, habe Probleme mit Polarkoordinaten und deren
> > Transformation etc.
> >
> > für die Oberfläche habe ich ein skalares
> > Oberflächenintegral benutzt, nach der Formel:
> > [mm]\integral_{}^{}{|\Phi_\phi \times \Phi_z| d\phi dz}[/mm]
> >
> > mein Phi ist :
> >
> >
> [mm]\Phi=\vektor{r*cos\phi\\r*sin\phi\\z}=\vektor{\bruch{cos\phi}{z}\\ \bruch{sin\phi}{z}\\z}[/mm]
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > Also ableiten + Kreuzprodukt -> [mm]\vektor{\bruch{cos\phi}{z} \\ \bruch{sin\phi}{z}\\\bruch{1}{z^3}}[/mm]
>
> >
> > Davon der Betrag ist [mm]\sqrt{\bruch{z^4+1}{z^6}}[/mm]
> >
> > Also sieht das ganze so aus:
> >
> > [mm]\int_{1}^{\infty} \int_{0}^{2pi}{ \sqrt{\bruch{z^4+1}{z^6}}d\phi dz}[/mm]
>
> >
> > Habe dann als Minorante 1/z benutzt und herausgefunden,
> > dass das Integral divergiert.
>
> Soweit alles bestens ! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
:) supi
>
> > Wie integriere ich denn jetzt das Volumen? Es ist ein
> > dreifach integral, aber wie sieht mein Phi aus? wie komme
> > ich an die Integranten? Kann ich das mit dem Kreuzprodukt
> > auch so machen?
>
> Ein Kreuzprodukt braucht man nicht.
> Man kann das Volumen "wie in der Schule" als ein simples
> Rotationskörpervolumen durch ein einfaches, allerdings
> "uneigentliches" Integral berechnen:
>
> [mm]\ V\ =\ \pi*\integral_{z=1}^{\infty} (r(z))^2\ dz[/mm]
>
Okay, nehm ich dann einfach [mm] (1/z)^2? [/mm]
Wie sähen denn die anderen Möglichkeiten aus? Ich habe z.B. in einer Elektrotechnik Formelsammlung Integranden für Zylinder/Kugelkoordinaten für die Fläche(n) und das Volumen. An diese Allgemeinen komme ich dann wieder mit der Determinantengeschichte?
Könnte ich hier das Volumen über diese Variante berechnen? Also über [mm] r*d\phi [/mm] dr dz ? Ich kenne die Grenzen speziell für das r nicht..
> > Allgemein habe ich auch noch ne Frage zur
> > Parametertransformation. Wann muss die Geschichte mit der
> > Funktionaldeterminante benutzen? Oder basiert die obige
> > Formel für die Oberflächenintegrale darauf?
>
> Die Methode mit dem Vektorprodukt führt zum selben
> Ergebnis wie die über die Funktionaldeterminante. Dies
> hängt damit zusammen, dass das Vektorprodukt auch
> in Determinantenform dargestellt werden kann.
>
Okay sehr gut zu wissen..
edit: gibt es eine Übersicht gängiger Transformationen/Parametrisierungen, um mein [mm] \Phi [/mm] zu bestimmen (also so grundgeschichten polarkoordinaten, kugelkoordinaten..)? Habe mit dem parametrisieren Probleme
> > Habe das Gesamtwerk noch nicht wirklich verstanden..
> >
> > danke für eure Hilfe!
>
>
> LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> > Man kann das Volumen "wie in der Schule" als ein simples
> > Rotationskörpervolumen durch ein einfaches, allerdings
> > "uneigentliches" Integral berechnen:
> >
> > [mm]\ V\ =\ \pi*\integral_{z=1}^{\infty} (r(z))^2\ dz[/mm]
> >
>
> Okay, nehm ich dann einfach [mm](1/z)^2?[/mm]
klar !
> Wie sähen denn die anderen Möglichkeiten aus? Ich habe
> z.B. in einer Elektrotechnik Formelsammlung Integranden
> für Zylinder/Kugelkoordinaten für die Fläche(n) und das
> Volumen. An diese Allgemeinen komme ich dann wieder mit der
> Determinantengeschichte?
> Könnte ich hier das Volumen über diese Variante
> berechnen? Also über [mm]r*d\phi[/mm] dr dz ? Ich kenne die Grenzen
> speziell für das r nicht..
$\ V\ =\ [mm] \integral_{z=1}^{\infty}\ \integral_{r=0}^{\frac{1}{z}}\ \integral_{\phi=0}^{2\,\pi}\ \red{r}*d\phi*dr*dz$
[/mm]
Der Faktor [mm] \red{r} [/mm] im Integranden entspricht dem Betrag der
Jacobi-Determinante für die Umrechnung zwischen Zylinder-
und rechtwinkligen Koordinaten.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Fr 25.06.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, besten Dank :)
|
|
|
|
