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[mm]b_1=\vektor{-2\\1\\1} [/mm] [mm]b_2=\vektor{1\\2\\0} [/mm] [mm]b_3=\vektor{2\\-1\\2} [/mm]
Bestimmmen Sie das Volumen des von [mm]b_1 b_2 b_3[/mm] erzeugten Körpers. |
Was würde ich nur ohne dieses Tolle Forum tun...
Danke für die ganze Hilfe hier.
Ich möchte gerne das Volumen berechnen. Mit der Determinate geht das recht flux:
[mm]\vmat{ -2&1&2 \\ 1&2&-1 \\ 1&0&2} = 1* \vmat{ 1&2 \\ 2&-1 } + 2 * \vmat{ -2&1 \\ 1&2 } [/mm]
[mm]= 1 *((-1)-4) + 2*(-4-1) = -15[/mm]
Bedeutet das Volumen ist 15.
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Jetzt möchte ich das ganze aber auch ohne Determinate lösen.
Als erstes habe ich geschaut ob die Vektoren Senkrecht aufeinander stehen.
[mm]< \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}> ?= 0 = 0[/mm] b1 und b2 stehen Senkrecht
[mm]< \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -1 \\ 2}> ?= 0 \neq -1[/mm] b1 und b2 stehen nicht Senkrecht
[mm]< \vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{2 \\ -1 \\ 2}> ?= 0 = 0[/mm] b2 und b3 stehen Senkrecht
Somit ergeben b1 und b2 die Grundfläche. Was bedeutet das ich b3 auf b1 Projeziere und b3 - die Projektion nehme was die "höhe" ergibt. Da b3 schon senkrecht auf b2 steht brauche ich diesen nicht zu Projezieren (=0).
Ich glaube hier habe ich meinen Fehler!
[mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - \frac{< \vektor{2 \\ -1 \\2},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}{<\vektor{-2 \\ 1 \\1},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}*\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]
[mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - (- \frac{3}{6})\vektor{-2 \\ 1 \\1} = \frac{1}{6}* \vektor{0 \\ -9\\15}[/mm]
Ok die Längen ausgrechnet:
[mm] \vmat{ b_1 } = \vmat{ \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} } = \sqrt{6}[/mm]
[mm] \vmat{ b_2 } = \vmat{ \vektor{1 \\ 2 \\ 0} } = \sqrt{3}[/mm]
[mm] \vmat{ h } = \vmat{ \frac{1}{6}\vektor{0 \\ -9 \\ 15} } = \sqrt{2}[/mm]
Dann [mm]b_1 * b_2 * h = \sqrt{6} * \sqrt{3} * \sqrt{2} = 6[/mm].
Hier kann etwas nicht stimmen.
Gruß Redenwirmaldarueber
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> > [mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - \frac{< \vektor{2 \\ -1 \\2},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}{<\vektor{-2 \\ 1 \\1},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}*\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - (- \frac{3}{6})\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]
>
> Soweit stimmt es.
>
> > [mm]= \frac{1}{6}* \vektor{0 \\ -9\\15}[/mm]
>
[mm]= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - \frac{1}{6}* \vektor{6 \\ -3 \\ -3} = \frac{1}{6} \vektor{6 \\ -3\\ 15}[/mm]
[mm]\vmat{ h } = \vmat{ \frac{1}{6} \vektor{6 \\ -3 \\ 15} } = \sqrt{7,5}[/mm]
Und damit geht auch [mm]b_1 * b_2 *h[/mm] auf: [mm]\sqrt{6} * \sqrt{5} * \sqrt{7,5} = 15[/mm]
> >
> > [mm]\vmat{ b_2 } = \vmat{ \vektor{1 \\ 2 \\ 0} } = \sqrt{3}[/mm]
>
> Nein, da kommt [mm]\sqrt{5}[/mm] heraus.
Ups das stimmt! :D
Danke für die Hilfe!!
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