Volumen einer Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Do 12.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Ebene [mm] x+\bruch{1}{2}y+\bruch{1}{3}z=1.
[/mm]
Welches Volumen hat die durch die Achsenabschnitte und den Ursprung gebildete Pyramide? |
Hallo nochmal^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,komme aber nicht mehr weiter.
Also zuerst hab ich mir die Achsenschnittpunkte ausgerechnet,das wären x=1,y=2 und z=3.
Ich hab also eine Pyramide mit einer dreieckigen Gtundfläche.
Die Formel für das Volumen einer Pyramide [mm] lautet:V=\bruch{1}{3}G*h.
[/mm]
Die Grundfläche wäre hier [mm] G=\bruch{g*h}{2}.
[/mm]
Das Problem ist jetzt aber,dass ich mirnicht sicher bin wie ich g und h wählen kann.Kann ich zum Beispiel für g den Vektor [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0} [/mm] nehmen?Das ist der Verbindungsvektor von dem Schnittpunkt der x-Achse zum Schnittpunkt y-Achse.Und für die Höhe h den Verbindungsvektor [mm] \vektor{0.5 \\ -1 \\ 3}.Den [/mm] hab raus indem ich den Verbindungsvektor vom Mittelpunkt der Strecke xy zum Punkt z genommen hab.
Vielen Dank
lg
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> Gegeben sei die Ebene [mm]x+\bruch{1}{2}y+\bruch{1}{3}z=1.[/mm]
> Welches Volumen hat die durch die Achsenabschnitte und den
> Ursprung gebildete Pyramide?
> Hallo nochmal^^
>
> Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,komme aber
> nicht mehr weiter.
> Also zuerst hab ich mir die Achsenschnittpunkte
> ausgerechnet,das wären x=1,y=2 und z=3.
> Ich hab also eine Pyramide mit einer dreieckigen
> Gtundfläche.
> Die Formel für das Volumen einer Pyramide
> [mm]lautet:V=\bruch{1}{3}G*h.[/mm]
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> Die Grundfläche wäre hier [mm]G=\bruch{g*h}{2}.[/mm]
> Das Problem ist jetzt aber,dass ich mirnicht sicher bin
> wie ich g und h wählen kann.Kann ich zum Beispiel für g den
> Vektor [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}[/mm] nehmen?Das ist der
> Verbindungsvektor von dem Schnittpunkt der x-Achse zum
> Schnittpunkt y-Achse.Und für die Höhe h den
> Verbindungsvektor [mm]\vektor{0.5 \\ -1 \\ 3}.Den[/mm] hab raus
> indem ich den Verbindungsvektor vom Mittelpunkt der Strecke
> xy zum Punkt z genommen hab.
>
> Vielen Dank
>
> lg
Frage vorab, habt oder behandelt ihr das Kreuzprodukt? Also geschrieben z.b. $ a [mm] \times [/mm] b $? Dann wäre es etwas einfacher, weil es für ne Pyramide direkt ne Formel gibt.
Ansonsten verstehe ich deine Aufgabe so, dass die Grundfläche von den Punkten O(0/0/0), A(1/0/0) und B(0/2/0) gebildet wird, richtig? Dann hast du noch einen Schnittpunkt S für die Spitze bei S(0/0/3). Und diese Spitze stellt die Spitze der Pyramide da, und die Höhe geht immer so hoch wie das Gebilde, also geht die Höhe vom Ursprung bis zu S und ist damit h=3.
Für die Grundseite kannst du dir jede beliebige Seite aussuchen, nur die Höhe wird dann schwierig zu berechnen, daher nutze doch den Vorteil, dass ein Dreieck immer die Hälfte des Rechtecks ist, dass sich aus zwei Seiten zusammensetzt. Also rechne doch einfach die Länge des Vektors a mal die Länge des Vektors b und nimm als a den Punkt A und als b den Punkt B, damit hast du sofort die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0} [/mm] .Jetzt noch die Länge berechnen, die man ja aber sofort sieht, und das ganze noch multiplizieren und durch 2 dividieren.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:28 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.
> Frage vorab, habt oder behandelt ihr das Kreuzprodukt? Also
> geschrieben z.b. [mm]a \times b [/mm]? Dann wäre es etwas einfacher,
> weil es für ne Pyramide direkt ne Formel gibt.
Ne,das hatten wir noch nicht.
> Ansonsten verstehe ich deine Aufgabe so, dass die
> Grundfläche von den Punkten O(0/0/0), A(1/0/0) und B(0/2/0)
> gebildet wird, richtig? Dann hast du noch einen
> Schnittpunkt S für die Spitze bei S(0/0/3). Und diese
> Spitze stellt die Spitze der Pyramide da, und die Höhe geht
> immer so hoch wie das Gebilde, also geht die Höhe vom
> Ursprung bis zu S und ist damit h=3.
>
> Für die Grundseite kannst du dir jede beliebige Seite
> aussuchen, nur die Höhe wird dann schwierig zu berechnen,
> daher nutze doch den Vorteil, dass ein Dreieck immer die
> Hälfte des Rechtecks ist, dass sich aus zwei Seiten
> zusammensetzt. Also rechne doch einfach vektor a mal vektor
> b und nimm als a den Punkt A und als b den Punkt B, damit
> hast du sofort die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm] Und das ganze noch durch 2
Ok,ich habs jetzt so gemacht,aber wenn ich Vektor a mal Vektor b rechne,also [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]*[mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm],dann kommt da [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] raus und das bringt mir ja nichts.Muss man vielleicht die Längen der Vektoren multiplizieren? Das wäre dann 1*4=4.Wenn ich das durch 2 teile,habe ich 2 für den Flächeninhalt der Grundfläche.
Jetzt noch in die Formel [mm] einsetzen:\bruch{1}{3}*2*3=2.Das [/mm] heißt die Pyramide hat das Volumen 2 VE ???
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Sa 14.03.2009 | | Autor: | glie |
> Ok,vielen Dank.
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> > Frage vorab, habt oder behandelt ihr das Kreuzprodukt? Also
> > geschrieben z.b. [mm]a \times b [/mm]? Dann wäre es etwas einfacher,
> > weil es für ne Pyramide direkt ne Formel gibt.
>
> Ne,das hatten wir noch nicht.
>
> > Ansonsten verstehe ich deine Aufgabe so, dass die
> > Grundfläche von den Punkten O(0/0/0), A(1/0/0) und B(0/2/0)
> > gebildet wird, richtig? Dann hast du noch einen
> > Schnittpunkt S für die Spitze bei S(0/0/3). Und diese
> > Spitze stellt die Spitze der Pyramide da, und die Höhe geht
> > immer so hoch wie das Gebilde, also geht die Höhe vom
> > Ursprung bis zu S und ist damit h=3.
> >
> > Für die Grundseite kannst du dir jede beliebige Seite
> > aussuchen, nur die Höhe wird dann schwierig zu berechnen,
> > daher nutze doch den Vorteil, dass ein Dreieck immer die
> > Hälfte des Rechtecks ist, dass sich aus zwei Seiten
> > zusammensetzt. Also rechne doch einfach vektor a mal vektor
> > b und nimm als a den Punkt A und als b den Punkt B, damit
> > hast du sofort die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und
> > [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm] Und das ganze noch durch 2
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> Ok,ich habs jetzt so gemacht,aber wenn ich Vektor a mal
> Vektor b rechne,also [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]*[mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm],dann
> kommt da [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] raus und das bringt mir ja
> nichts.Muss man vielleicht die Längen der Vektoren
> multiplizieren? Das wäre dann 1*4=4.Wenn ich das durch 2
> teile,habe ich 2 für den Flächeninhalt der Grundfläche.
> Jetzt noch in die Formel [mm]einsetzen:\bruch{1}{3}*2*3=2.Das[/mm]
> heißt die Pyramide hat das Volumen 2 VE ???
>
> lg
Hallo Mandy,
beachte bitte dass du NICHT einfach zwei Vektoren so multiplizieren kannst und dann wieder einen Vektor erhältst, das ist grober Unfug!
Für zwei Vektoren ist nur das Skalarprodukt definiert, aber beim Skalarprodukt zweier Vektoren erhältst du eine reelle Zahl!
Ausserdem ist für zwei Vektoren noch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) definiert, aber da sagtest du ja dass ihr das noch nicht behandelt habt.
Nun zu deiner Aufgabe:
Also die Punkte O(0/0/0) A(1/0/0) und B(0/2/0) bilden doch ein in der [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] liegendes rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Katheten die Längen 1 und 2(!) haben.
Die Spitze der Pyramide liegt bei S(0/0/3). Also ist doch die Höhe der Pyramide 3.
Damit:
[mm] V=\bruch{1}{3}*\underbrace{\bruch{1}{2}*1*2}_{G}*3=1
[/mm]
Gruß Glie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso,wir hatten Vektoren nie multipliziert,deswegen hab ich es einfach mal so gemacht wie ich es gedacht hab.
Aber ist jetzt klar.
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Adamantin |
Tut mir leid, dass ich fahrlässigerweise gesagt habe, du müsstest die Vektoren multiplizieren, natürlich meinte ich die Längen, also [mm] |\vec{a}| [/mm] etc. Sorry für die Dumme beschreibung, aber du hattest das ja auch richtig kritisiert. Ich meinte damit natürlich die Längen, die man aber direkt aus den Vektoren ablesen konnte, deshalb hatte ich das so falsch beschrieben. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Sa 14.03.2009 | | Autor: | weduwe |
wenn die ebene so hübsch wie hier in der achsenabschnittsform gegeben ist (rechts steht 1). kannst du die achsenabschnitte direkt ablesen:
x = 1, y = 2 und h = z = 3.
da die grundfläche ein rechtwinkeliges dreieck ist, hast du [mm] A_\Delta=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot [/mm] 2=1 und damit [mm]V=\frac{1}{3}A_\Delta\cdot h=1[/mm]
fast ohne rechnung 
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