Volumen einer Schnittmenge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 22.06.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
"Berechnen sie das Volumen des Schnittes zweier Zylinder [mm]\left{ (x,y,z \right) \in \IR^3 \left| x^2+y^2 \le 1 , x^2+z^2 \le 1 \right}[/mm]"
Bei der Lösung habe ich mir gedacht, dies ist doch nichts anderes als [mm]\int_{M}^{} \, d(x,y,z)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\wurzel{1-x^2}} \int_{0}^{\wurzel{1-z^2}} \, dz \, dy \, dx[/mm]. Nun ist meine Frage, ob dies stimmt? MfG Magician.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo magician
> Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
> "Berechnen sie das Volumen des Schnittes zweier Zylinder
> [mm]\left{ (x,y,z \right) \in \IR^3 \left| x^2+y^2 \le 1 , x^2+z^2 \le 1 \right}[/mm]"
>
> Bei der Lösung habe ich mir gedacht, dies ist doch nichts
> anderes als [mm]\int_{M}^{} \, d(x,y,z)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\wurzel{1-x^2}} \int_{0}^{\wurzel{1-z^2}} \, dz \, dy \, dx[/mm].
> Nun ist meine Frage, ob dies stimmt? MfG Magician.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das hast du dir im Prinzip richtig überlegt. Nur die Integrationsgrenzen stimmen nicht: die untere Grenze ist nicht $0$, sondern jeweils das Negative der oberen Grenze. Aus Symmetriegründen kannst du dir aber auch einfach überlegen, dass du mit deinen Grenzen nur einen Achtel des ganzen Volumen abdeckst. 
Im Weiteren habe ich auch den Eindruck, dass es bei den oberen Grenzen 2 Mal heissen sollte: [mm] $\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm]
Mit lieben Grüssen
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 22.06.2004 | | Autor: | Magician |
Ja, du hast recht, es muss 2 mal [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] heissen. Nur, warum muss denn noch die negative integrationsgrenze dazu, kannst mir dies anschaulich (so dass man es versteht) erklären? Danke, Magician.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo magician
> Ja, du hast recht, es muss 2 mal [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] heissen.
> Nur, warum muss denn noch die negative integrationsgrenze
> dazu, kannst mir dies anschaulich (so dass man es versteht)
> erklären? Danke, Magician.
>
Jooh, wenn ich jetzt nur wüsste, was das heissen soll: so dass man es versteht. Meinst du damit, so dass es auch ein Strassenkehrer versteht?
Oder: so, dass selbst du es verstehst? Oder: jedes Kind soll das verstehen? Oder sogar ein Polizist?? Oder: ...? Oder ...?
Na ja, ist ja egal. Ich sage ganz einfach einmal: schaue die ganze Figur zum Beispiel in y-Richtung an.
Was bedeutet dann: [mm] $x^{2}+z^{2} \le [/mm] 1$?
Würdest du eine Funktion sehen: [mm] $x^{2}+z^{2} [/mm] =1$, dann wüsstest du wohl auf einen Blick, dass dies ein Kreis mit Radius $1$ um den Ursprung ist (immer von der y-Richtung aus gesehen!) Die Kreislinie ist jeweils bei [mm] $z=+\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm] zu sehen, als auch bei [mm] $z=-\wurzel{1-x^{2}}$!
[/mm]
Wenn jetzt an Stelle des Gleichheitszeichens ein Kleiner-Gleich steht, dann bedeutet das nichts anderes, als dass die ganze Kreisfläche gemeint ist. Der Rand davon ist also bei [mm] $z=-\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm] und bei [mm] $z=+\wurzel{1-x^{2}}$. [/mm] Du kannst das auch einsehen, wenn du zum Beispiel für [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] und für [mm] $z=-\bruch{1}{2}$ [/mm] einsetzt. Diese Werte erfüllen die Gleichung [mm] $x^{2}+z^{2} \le [/mm] 1$! Wenn du mit $z$ nur von $0$ bis [mm] $+\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm] wanderst, dann erfasst du nur den halben Kreis!Und das bei deiner Aufgabe in alle drei Dimensionen. Deshalb der Faktor $8$.
So, hat das nun auch ein Polizist verstanden?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Di 22.06.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, vielen dank, nun hab selbst ich es verstanden. Wünsche noch einen angenehmen Abend und gute Nacht. MfG Magician.
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