Volumen eines Tetraeders < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 30.11.2006 | | Autor: | grabo |
| Aufgabe | | Gegeben sind die Punkt (0,0,0), (1,2,3), (-2,1,3) sowie (-1,0,-3) eines Tetraeders, von dem das Volumen berechnet werden soll. |
Hallo,
zur Lösung der obigen Aufgabe habe ich zunächst die Fläche der ersten drei Punkte berechnet (Lsg. 5,36).
Jetzt suche ich eine Möglichkeit die Ebenengleichung des Dreiecks zu berechnen. Anschließend will ich versuchen die Höhe dieser Ebene zum Punkt 4 zu berechnen um schlußendlich das Volumen zu berechnen?
Ist mein Ansatz korrekt und wie geht es weiter?
Danke,
Martin
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich hoffe aber, dass ich das richtige Forum (bez. auf das Themengebiet) gewählt habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wenn du drei Punkte A, B und C gegeben hast, kannst du eine Ebene in Parameterform wie folgt berechnen:
[mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambnda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}
[/mm]
Diese kann ich jetzt mit Hilfe des Kreuzproduktes in die Normalenform überführen.
Kreuzprod: [Dateianhang nicht öffentlich]
Im weiteren Artikel gilt: [mm] \times [/mm] ist das Kreuzprodukt,
* ist das Skalarprodukt.
Also:
E: [mm] \vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
[mm] \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
[/mm]
und [mm] d=\vec{a}*\vec{n}.
[/mm]
Wenn ich jetzt den Normalenvektor habe, kann ich folgende "Höhengerade" h des Tetraeders bilden.
Ich nenne den Punkt in der Spitze des Tetraeders mal D
h: [mm] \vec{x}=\vec{d}+\nu*\vec{n}.
[/mm]
Wenn ich nun den Schnittpunkt -ich nenne ihn mal S - von h und E berechne, ist die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{DS} [/mm] die gesuchte Höhe des Tetraeders.
Diesen Schnittpunkt zu berechnen, ist am einfachsten, wenn du die Gerade in die Normalenform der Ebene einsetzt.
Also:
[mm] \vec{n}\times(\underbrace{\vec{d}+\nu*\vec{n}}_{h})=d
[/mm]
Daraus kannst du jetzt dein [mm] \nu [/mm] bestimmen, so dass gilt:
[mm] \vec{s}=\vec{d}+\nu*\vec{n}
[/mm]
Dann kannst du das Volumen des Tetraeders berechnen.
[mm] V=\underbrace{A}_{schon berechnet}*|\overrightarrow{DS}|
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 30.11.2006 | | Autor: | grabo |
Hallo Marius,
erst einmal danke für deine schnelle Hilfe!
Mit der Parameterdarstellung komme ich allerdings nicht klar. Um [mm] \ver{x} [/mm] zu berechnen nutzt du ja scheinbar Matrizen. Wie haben diese gemäß Aufgabenstellung auszusehen, d.h. was verbirgt sich hinter welchen Buchstaben?
Gruß von der M-Brücke (ebenfalls Uni BI),
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Nein, es kommen in der ganzen Rechnung nur Vektoren vor.
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist der Vektor von A nach B
Also hier: A=(0/0/0), B=(1/2/3)
das heisst, [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{1-0\\2-0\\3-0}=\vektor{1\\2\\3}.
[/mm]
Und die Parameterdarstellung einer Ebene solltest du aus dem Matheunterricht der Oberstufe kennen.
Das einzige, was evtl. nicht bekannt sein sollte, das Kreuzprodukt zweier Vektoren, habe ich dir als Definition mitgegeben.
Marius, zuhause Referat schreibend und sich ablenkend.
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