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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Volumen und den Inhalt der Mantelfläche des Körpers, der bei Rotation des Graphen von
[mm] g(x):=(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}} [/mm] für [mm] x\in[0,1]
[/mm]
um die x-Achse entsteht. |
Hallo :D
Also das Volumen habe ich schon berechnet, das ist [mm] \bruch{16}{105}\pi, [/mm] doch jetzt hänge ich bei der Mantelfläche...
Ich habe wie folgt begonnen:
Inhalt der Mantelfläche= [mm] 2\pi*\integral_{0}^{1}{(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+((1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}})^{2}} dx}
[/mm]
Substitution:
[mm] u=1-x^{\bruch{2}{3}} \bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{3}*x^{-\bruch{1}{3}} dx=\bruch{-\bruch{2}{3}*x^{-\bruch{1}{3}}}{du}
[/mm]
daraus folgt:
Inhalt der Mantelfläche= [mm] 2\pi*\integral_{}^{}{u^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+(u^{\bruch{3}{2}})^{2}}*\bruch{-\bruch{2}{3}*x^{-\bruch{1}{3}}}{du} }
[/mm]
Ich weis zum einen nicht ob das so stimmt, zum anderen habe ich leider keine Ahnung wie ich das weiter auflösen soll ...
Ich hoffe mir kann jemand helfen :D
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 03.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das Volumen und den Inhalt der Mantelfläche
> des Körpers, der bei Rotation des Graphen von
> [mm]g(x):=(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}[/mm] für [mm]x\in[0,1][/mm]
> um die x-Achse entsteht.
> Hallo :D
> Also das Volumen habe ich schon berechnet, das ist
> [mm]\bruch{16}{105}\pi,[/mm] doch jetzt hänge ich bei der
> Mantelfläche...
> Ich habe wie folgt begonnen:
> Inhalt der Mantelfläche=
> [mm]2\pi*\integral_{0}^{1}{(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+((1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}})^{2}} dx}[/mm]
Das stimmt doch so nicht.
Die Mantelfläche =
$2 [mm] \pi \cdot \int_0^1 [/mm] g(x) [mm] \sqrt{1+g'(x)^2}\, \mathrm [/mm] d x $
FRED
>
> Substitution:
> [mm]u=1-x^{\bruch{2}{3}} \bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{3}*x^{-\bruch{1}{3}} dx=\bruch{-\bruch{2}{3}*x^{-\bruch{1}{3}}}{du}[/mm]
>
> daraus folgt:
> Inhalt der Mantelfläche=
> [mm]2\pi*\integral_{}^{}{u^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+(u^{\bruch{3}{2}})^{2}}*\bruch{-\bruch{2}{3}*x^{-\bruch{1}{3}}}{du} }[/mm]
>
> Ich weis zum einen nicht ob das so stimmt, zum anderen habe
> ich leider keine Ahnung wie ich das weiter auflösen soll
> ...
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen :D
>
> LG
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Upps, da hab ich die Formel irgendwie falsch abgeschrieben, danke :D
Aber ich stehe jetzt schon wieder beim selben Problem ...
Ich hab jetzt wie folgt gerechnet:
[mm] g(x)=(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{-\wurzel{1-x^{\bruch{2}{3}}}}{x{\bruch{1}{3}}}
[/mm]
[mm] Inhalt=2\pi*\integral_{0}^{1}{(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+(\bruch{-\wurzel{1-x^{\bruch{2}{3}}}}{x{\bruch{1}{3}}})^{2}} dx}
[/mm]
[mm] =2\pi*\integral_{0}^{1}{(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+(\bruch{-1-x^{\bruch{2}{3}})}{x^{\bruch{2}{3}}}} dx}
[/mm]
Substitution [mm] u=1-x^{\bruch{2}{3}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] 2\pi*\integral_{}^{}{u^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+\bruch{-u}{1-u}}-\bruch{3x^{\bruch{1}{3}}}{2}du}
[/mm]
[mm] =2\pi*\integral_{}^{}{u^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{\bruch{1-2u}{1-u}}-\bruch{3x^{\bruch{1}{3}}}{2}du}
[/mm]
Ab hier bekomme ich es leider wieder nicht weiter zusammengefasst :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 03.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Upps, da hab ich die Formel irgendwie falsch abgeschrieben,
> danke :D
> Aber ich stehe jetzt schon wieder beim selben Problem ...
> Ich hab jetzt wie folgt gerechnet:
> [mm]g(x)=(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]g'(x)=\bruch{-\wurzel{1-x^{\bruch{2}{3}}}}{x{\bruch{1}{3}}}[/mm]
>
> [mm]Inhalt=2\pi*\integral_{0}^{1}{(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+(\bruch{-\wurzel{1-x^{\bruch{2}{3}}}}{x{\bruch{1}{3}}})^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]=2\pi*\integral_{0}^{1}{(1-x^{\bruch{2}{3}})^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+(\bruch{-1-x^{\bruch{2}{3}})}{x^{\bruch{2}{3}}}} dx}[/mm]
Das stimmt nicht. Du hast elementare Rechenfehler begangen.
Rechne mal gaaaaanz langsam. Dann wirst Du sehen:
[mm] \wurzel{1+g'(x)^2}=x^{-1/3}
[/mm]
FRED
>
> Substitution [mm]u=1-x^{\bruch{2}{3}}[/mm]
> daraus folgt:
>
> [mm]2\pi*\integral_{}^{}{u^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{1+\bruch{-u}{1-u}}-\bruch{3x^{\bruch{1}{3}}}{2}du}[/mm]
>
> [mm]=2\pi*\integral_{}^{}{u^{\bruch{3}{2}}*\wurzel{\bruch{1-2u}{1-u}}-\bruch{3x^{\bruch{1}{3}}}{2}du}[/mm]
>
> Ab hier bekomme ich es leider wieder nicht weiter
> zusammengefasst :/
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Oh ja, das hab ich jetzt, danke :D
Hab dann jetzt für den Flächeninhalt [mm] \bruch{6}{5}\pi, [/mm] stimmt das ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Di 03.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Kruemel,
> Hab dann jetzt für den Flächeninhalt [mm]\bruch{6}{5}\pi[/mm]
> stimmt das ??
Edit: Richtig.
Gruß
DieAcht
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