Volumenbe.: Negativer Wert < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, b_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1}, b_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Bestimmen Sie das Volumen des von [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3} [/mm] aufgespannten Körpers. |
Hallo zusammen,
wie der Aufgabenstellung zu entnehmen ist, soll ich das Volumen des Körpers berechnen. Dies mache ich anhand einer Determinate:
[mm] \vmat{ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 }
[/mm]
Nun erhalte ich als Ergebnis jedoch -15, was mir falsch vorkommt. Ein negatives Volumen? Ist das möglich? Das ist wie eine negative Schuhgröße. Ein Online-Tool hat mir das Ergebnis jedoch bestätigt, demnach scheint es nicht, dass ich mich bei der Determinantenberechnung vertan habe. Könnte das Ergebnis daher wirklich stimmen?
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Hallo Hamu-Sumo,
> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, b_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1}, b_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> Bestimmen Sie das Volumen des von
> [mm]b_{1}, b_{2}, b_{3}[/mm] aufgespannten Körpers.
> Hallo zusammen,
>
> wie der Aufgabenstellung zu entnehmen ist, soll ich das
> Volumen des Körpers berechnen. Dies mache ich anhand einer
> Determinate:
>
> [mm]\vmat{ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Nun erhalte ich als Ergebnis jedoch -15, was mir falsch
> vorkommt. Ein negatives Volumen? Ist das möglich? Das ist
Die Vektoren [mm]b_{1}, \ b_{2}, \ b_{3}[/mm] bilden in dieser Reihenfolge kein Rechtssystem, daher ist auch die Determinante < 0.
> wie eine negative Schuhgröße. Ein Online-Tool hat mir das
> Ergebnis jedoch bestätigt, demnach scheint es nicht, dass
> ich mich bei der Determinantenberechnung vertan habe.
> Könnte das Ergebnis daher wirklich stimmen?
Ja, das Ergebnis stimmt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
erstmal danke für die Antwort!
Eine Nachfrage: Was ist mit Rechtssystem gemeint? Eine Orthonormalbasis?
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Hallo Hamu-Sumo,
> Hallo,
>
> erstmal danke für die Antwort!
>
> Eine Nachfrage: Was ist mit Rechtssystem gemeint? Eine
> Orthonormalbasis?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Rechtssystem
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 05.08.2012 | | Autor: | Hamu-Sumo |
Ach das! Das kenne ich noch aus dem Physikunterricht in der Schule. Lange ist's her... *lacht*
Danke nochmals!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 05.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, b_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1}, b_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> Bestimmen Sie das Volumen des von
> [mm]b_{1}, b_{2}, b_{3}[/mm] aufgespannten Körpers.
> Hallo zusammen,
>
> wie der Aufgabenstellung zu entnehmen ist, soll ich das
> Volumen des Körpers berechnen. Dies mache ich anhand einer
> Determinate:
das ist halt der Fehler gewesen: Du musst den Betrag der Determinante nehmen. Die Determinante ist sozusagen "ein vorzeichenbehaftetes Volumen".
Wurde aber anscheinend schon anderweitig geklärt (mit Begriffen wie Rechtssystem).
P.S.
Nochmal zum Nachlesen ($\leftarrow$ klick me!): "Man kann [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren im [mm] $\IR^n$ [/mm] die Determinante derjenigen quadratischen Matrix zuordnen, deren Spalten die gegebenen Vektoren bilden. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der Determinante, welche einer Basis zugeordnet ist, dazu verwendet werden, den Begriff der Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird. [mm] $\ldots$"
[/mm]
Gruß,
Marcel
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