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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
| Aufgabe | Es soll eine Schale aus Birnbaumholz hergestellt werden. Dazu werden geeignete Funktionen ausgewählt. Es wird die Schale betrachtet, die durch Rotation der zugehörigen Graphen um die x-Achse entsteht. Für die Außen- und Innenwand werden die beiden folgenden Funktionen p und [mm] f_{2,5} [/mm] verwendet mit
p(x) = [mm] \bruch{2}{25}*(x+3)²+3; [/mm] -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6 Außenwand
[mm] f_{2,5}(x)=\wurzel{x²+5x+4}; [/mm] -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6 Innenwand
Es werden 500 cm³ Flüssigkeit in die Schale gefüllt. Berechnen Sie den Abstand des Flüssigkeitsspiegels vom oberen Rand der Schale. |
Hallo,
wie ich den Abstand vom Rand heraus bekomme, habe ich soweit verstanden, ich bin nun auf folgende Zeile gekommen:
456,9646 = [mm] b³-\bruch{5}{2}b²+4b
[/mm]
Meine Frage ist nun, wie ich das b aus der Gleichung herausgelöst bekomme. Dass ich das b ausklammern kann, ist klar, aber was passiert dann mit dem Klammerninhalt? Die Frage, wie man dann vorgeht, stellt sich mir schon längerer Zeit, allerdings geht das hier nicht anders. Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich nach dem Ausklammern vorgehen muss?
Liebe Grüße,
Arnie
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Ich habe nicht nachgerechnet, wie Du zu Deiner Gleichung kommst, aber ich kann Dir immerhin verraten, dass sie nur eine Lösung hat, etwa bei b=8,4404388.
Das kann ja nach der Aufgabenstellung nicht stimmen, oder?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:52 So 11.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Hallo,
nein, irgendwie nicht  .
Ich bin auf die Gleichung gekommen, da die Flüssigkeit ja nur in dem Rotationskörper der Funktion für die Innenwand gefüllt werden kann, also:
V= [mm] \pi \integral_{a}^{b}{[ \wurzel{x²+5x+4}]² dx}
[/mm]
500= [mm] \pi \integral_{-1}^{b}{x²+5x+4 dx}
[/mm]
= [mm] \pi [\bruch{1}{3}b³+\bruch{5}{2}b²+4b+\bruch{1}{3}-\bruch{5}{2}+4]
[/mm]
[mm] =\pi (\bruch{1}{3}b³+\bruch{5}{2}b²+4b+\bruch{11}{6})
[/mm]
[mm] \bruch{500}{\pi}=\bruch{1}{3}b³+\bruch{5}{2}b²+4b+\bruch{11}{6} |-\bruch{11}{6}
[/mm]
[mm] 157,3216=\bruch{1}{3}b³+\bruch{5}{2}b²+4b
[/mm]
471,9648 = b³+7,5b²+12b
Okay, da scheint ein Fehler gewesen zu sein.
Für die Lösung habe ich die Cardano-Formel gefunden, allerdings habe ich bislang noch nichts von einer Cardano-Formel im Unterricht gefunden, daher habe ich dazu eine Frage bei der Lösung:
ursprünglich:
[mm] \bruch{1}{3}b³+\bruch{5}{2}b²+4b-157,3216=0
[/mm]
[mm] a=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] b=\bruch{5}{2}
[/mm]
c=4
d=-157,3216
geteilt durch a, wg unterscheidung b=x
x³+7,5x²+12x-471,9648=0
ersetze x durch [mm] z=x+\bruch{b}{3a}
[/mm]
[mm] z=x+\bruch{5}{2*3*\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] z=x+\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] x=z-\bruch{5}{2}
[/mm]
z eingesetzt:
[mm] (z-\bruch{5}{2})³+7,5(z-\bruch{5}{2})²+12(z-\bruch{5}{2})-471,9648=0
[/mm]
[mm] z³-3z²*\bruch{5}{2}+3z\bruch{25}{4}-\bruch{125}{8}+7,5z²-37,5z+46,875+12z-30-471,9648=0
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann müsste:
z³-6,75z-470,7148=0
original:
y³+3py+2q
3p=-6,75
p=-2,25
2q=-470,7148
q=-235,3574
Diskriminante zur Bestimmung der Lösungsmöglichkeiten:
D=q²+p³
D=-235,374²+(-2,25)³
D=55381,715
Da die Diskriminante positiv ist, müssten dann ja eigentlich eine reele und zwei komplexe Lösungen herauskommen.
Soo... ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
z=u+v
z³=3uvz+(u³+v³)=-ay-b // ist das eigentlich einmal vereinbart worden oder weshalb wird das so gesetzt?
dh. 3uv=-a
[mm] 3uv=-\bruch{1}{3}
[/mm]
nach v:
[mm] v=-\bruch{1}{u}
[/mm]
in u³+v³=-b
[mm] u³+v³=-\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] u³+(-\bruch{1}{u})³=-\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] u³-\bruch{1}{u³}=-\bruch{5}{2} [/mm] | [mm] +\bruch{5}{2} [/mm] |*u³
[mm] u^6+\bruch{5}{2}u³-1=0
[/mm]
setze [mm] u³=\delta
[/mm]
[mm] (\delta)²+\bruch{5}{2}*\delta-1=0
[/mm]
...sodass ich das jetzt per PQ-Formel auf die Lösungen kommen müsste:
[mm] \delta_{1}=0,350781
[/mm]
[mm] \delta_{2}=-2,85078
[/mm]
Resubst.:
u= [mm] \wurzel[3]{0,350781}=0,705254
[/mm]
[mm] u_{2}=\wurzel[3]{-2,85078}=-1,4179 [/mm] //brauche ich i eigentlich nur geradzahligen Wurzeln?
u in v:
[mm] v_{1}=-\bruch{1}{0,705254}=-1,41793
[/mm]
[mm] v_{2}=-\bruch{1}{-1,4179}=0,705268
[/mm]
stimmt das bis jetzt soweit?
Muss das wirklich so aufgetrennt werden, obwohl für z dann nur eine Lösung herauskommt? Oder gibt es da noch Ausnahmen? Hat das eine bestimmte Bedeutung, dass z negativ geworden ist?
z=0,705254-1,41793
z=-1,4179+0,705254
z=-1
Resubstitution:
[mm] z=x+\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] x=-1-\bruch{5}{2}
[/mm]
x=-3,5
Was ist jetzt allerdings mit dem f²+f+1=0 gemeint und wie komme ich von der Gleichung auf [mm] f_{1,2}=0,5(-1\pm i*\wurzel{3})? [/mm] Ich denke mal, dass das i aus der negativen Wurzel kommt, aber wird für f dann die ursprüngliche Gleichung oder die mit geteilt durch a oder die mit [mm] \delta [/mm] verwendet?
Ich weiß, es sind etliche Fragen, aber ich hoffe, ihr könnt mir zumindest bei einigen davon weiter helfen und mir vll sagen, ob ich momentan auf dem richtigen Weg bin.
Liebe Grüße und vielen Dank,
Arnie
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:25 So 11.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Ich habe eben eine andere Lösungsform für die komplexen Lösungen gefunden, könntet ihr einmal schauen, ob das so stimmt?
[mm] z_{2,3}=-\bruch{1}{2}(u+v) \pm i*\bruch{\wurzel{3}}{2}(u-v)
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}(0,705254+(-1,41793)) \pm i*\bruch{\wurzel{3}}{2}(0,705254-(-1,41793))
[/mm]
=0,356338 [mm] \pm i*\bruch{\wurzel{3}}{2}(2,123164)
[/mm]
=0,356338 [mm] \pm [/mm] i*1,8387
Resubst.:
x = z + [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
x=0,35338 [mm] \pm [/mm] i*1,8387 - [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
x=-2,143662 [mm] \pm [/mm] 1,8387i
Dh. müsste ich dass dann auf der Gauß'schen Zahlenebene eintragen, um herauszufinden, für welchen anderen möglichen Wert das Volumen der Schale 500 cm³ betragen kann?
Liebe Grüße,
Arnie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 17.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Arnie,
Cardano ist mir zu mühsam, außerdem ist hier ja keine "schöne" rationale Lösung zu erwarten, wenn ich mir die Herkunft des absoluten Gliedes so anschaue: [mm] \bruch{500}{\pi}-\bruch{11}{6} [/mm]
Das hast Du ja auf sieben gültige Stellen gerundet: -157,3216
Mir (und ich vermute dem Aufgabensteller auch!) würde hier eine numerische Lösung vollauf genügen. Genauer muss sie nicht sein.
Das lässt sich mit einem kleinen Programm oder einem Grafiktaschenrechner schnell bestimmen. Die Lösung ist (in gleicher Genauigkeit wie oben) 5,568034.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Di 13.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Hallo reverend,
ich habe gestern versucht, das Newton Verfahren anzuwenden und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen , allerdings konnte ich bislang noch nicht den Punkt finden, wo bei Cardano dann der Fehler war, da für die reelle Lösung ein anderer Wert herauskommt.
Der Aufgabensteller hat dazu nur die Ursprungsformel geschrieben mit [mm] V=\pi [/mm] ... [mm] \approx [/mm] 5,57, ohne einen Hinweis, wie man die Gleichung am besten lösen sollte...
Aber danke auf jeden Fall.
Liebe Grüße,
Arnie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 17.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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