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Forum "Geraden und Ebenen" - Volumenbestim. schiefes Prisma
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Volumenbestim. schiefes Prisma: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:53 Di 04.06.2019
Autor: knorki7

Aufgabe
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O (0|0|0),  A (6|4|-2), B (0|16|-8), C (-6|4|-2) und D (0|8|11) Eckpunkte eines schiefen Prismas OABCDEFG mit viereckiger Grundfläche OABC.

Bestimmen Sie das Volumen des Prismas OABCDEFG.

[Es handelt sich um eine Abituraufgabe aus dem Jahr 2017)

Die Grundfläche des Prismas ist das Drachenviereck OABC.

Flächeninhalt des Drachenvierecks ist bestimmt durch A = 1/2 * e * f

A = 1/2 * |AC| * |OB|
A = 1/2 * 12 * sqrt(320)
A = 48*sqrt(5)

Zur Volumenbestimmung des Prismas gilt:

V = G * h
V = 48*sqrt(5) * |OD|

Und genau hier entsteht mein Verständnisproblem: Die Grundfläche passt soweit, aber warum ist die Höhe des Prismas nicht Strecke OD?

Laut Lösung soll die Höhe des Prismas sqrt(180) sein, aber Strecke OD wäre sqrt(185)?

Leider kann ich keine Abbildung einfügen, damit wäre es etwas anschaulicher.

        
Bezug
Volumenbestim. schiefes Prisma: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Di 04.06.2019
Autor: M.Rex

Hallo.

Die Strecke [mm] \overline{OD} [/mm] steht nicht senkrcht auf der Grundfläche, damit ist es nicht es nicht die Höhe.
Du musst ein Lot von D auf die Grundfläche fällen, und dann den Abstand zwischen D und dem Lotfußpunkt bestimmen, um die Höhe zu bestimmen.

Marius

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Volumenbestim. schiefes Prisma: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Di 04.06.2019
Autor: knorki7

Danke erstmal für die Antwort.

Das ergibt für mich irgendwie überhaupt keinen Sinn.

Ich habe ein Prisma, dessen Grundfläche ein Drachenviereck ist. Nun kann ich ja von den Eckpunkten des Drachenvierecks jede Strecke zum gegenüberliegenden Eckpunkt des anderen Drachenvierecks gehen. Diese Strecken sind auch alle gleich lang (was ja logisch ist).

Das muss doch per Definition die Höhe des Prismas sein? Das will nicht in meinen Kopf gehen!

Dabei ist es doch völlig egal ob OD senkrecht auf der Grundfläche steht, wenn eben alle Eckpunkte der zwei Grundflächen gleich weit entfernt sind, muss das doch die Höhe sein?! Versteh ich wirklich nicht :(


Okay also laut deinem Tipp müsste es dann so gehen:

Ebene des Drachenvierecks bestimmen, also zum Beispiel Ebene mit den Punkten O (Ortsvektor) und C und A (Richtungsvektor)

Ergibt
E: (0/0/0) + r * (-6/4/-2) + s * (6/4/-2)

In Koordinatenform
E: 0x - 24y - 48z = 0

Lotgerade von Punkt D (halt irgendeinen Eckpunkt vom gegenüberliegenden Drachenviereck) auf die Ebene:

(0/8/11) + t * (0/-24/-48)

Schnittpunkt zwischen Lotgerade und Ebene:
S (0/2/-1)

Länge zwischen D und S = sqrt(180)

Da kommt dann also das richtige Ergebnis raus, ich kann das auch ohne Probleme berechnen.

Aber das macht für mich keinen Sinn. Wenn alle Eckpunkte der einen Grundfläche den gleichen Abstand zum jeweils gegenüberliegenden Eckpunkt der anderen Grundfläche haben, wieso kann das nicht die Höhe sein?!!!?

Es müsste für mich Strecke OD mit dem Ergebnis des Schnittpunkts Ebene & Lotgerade übereinstimmen, also dass sie Längen gleich sind.

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Volumenbestim. schiefes Prisma: Cavalieri-Prinzip
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Di 04.06.2019
Autor: Roadrunner

Hallo knorki,

hinter dieser Volumenberechnung bzw. genauer der Ermittlung der entsprechenden Höhe eines Prismas (ob gerade oder schief) steckt das sogenannte "Cavalieri-Prinzip".




Das Prinzip von Cavalieri besagt:

Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn all ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer Grundebene in entsprechenden Höhen den gleichen Flächeninhalt haben.

Eine andere Formulierung lautet:

Liegen zwei Körper zwischen zueinander parallelen Ebenen E1 sowie E2  und werden sie von jeder zu diesen parallelen Ebene E′  so geschnitten, dass gleich große Schnittflächen entstehen, so haben die Körper das gleiche Volumen.


Eine einfache Veranschaulichung der Idee liefert etwa ein Block aus quadratischen Notizzetteln, die zu einer Schraube verdreht aufeinanderliegen: Er hat dasselbe Volumen wie der Quader, der sich bei normalem Stapeln ergibt. Für die Anwendung des Cavalieri-Prinzips können die Zettel des verdrehten Stapels durchaus in Form und Größe variieren.




Quelle: []Wikipedia

Demnach ist die anzusetzende Höhe für das Prisma (egal ob gerade oder schief) der Abstand der beiden Ebenen, die durch die beiden Grundflächen (oben und unten) aufgespannt werden.
Das heißt im Klartext: es ist das Lot zu bilden und nicht eine schräge Strecke anzusetzen - wie bereits in der Antwort von M.Rex vermerkt.


Gruß vom
Roadrunner


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Volumenbestim. schiefes Prisma: Analogie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Di 04.06.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Ich möchte dir empfehlen, einen analogen Vergleich zu machen, wobei wir aus dem dreidimensionalen in den zweidimensionalen Raum gehen.

Die Punkte P(0|0), Q(10|0), R(13|4), S(3|4)  bilden ein Viereck in der x-y-Ebene.
Berechne alle Seitenlängen sowie den Flächeninhalt des Vierecks !

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Volumenbestim. schiefes Prisma: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Di 04.06.2019
Autor: chrisno

Noch eine weitere Anregung:
Das Prisma ist schon schief, die Kantenlänge OD wird konstant gehalten. Wenn nun das Prisma "immer schräger" wird, dann kommt nun das obere Drachenviereck der Ebene in der das untere Drachenviereck liegt, immer näher. Am Ende ist das Prsma platt, dann hat es das Volumen Null. Nach deiner Idee wäre das Volumen immer noch das gleiche wie vorher. Es ist aber so, dass das Volumen mit zunehmender Schräge (bei konstanter Kantenlänge) immer kleiner wird, bis es schließlich Null ist.
Du kannst dir das auch wie ein Bücherregal vorstellen, dem die Diagonalversteifung fehlt. Die Seitenwände kippen um, die Regalbretter bleiben waagerecht, am Ende ist kein Platz mehr zwischen ihnen um Bücher rein zu stellen.

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