Volumenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 17.05.2011 | | Autor: | Lacrim91 |
| Aufgabe | Die Zylinderkoordinaten im [mm] \IR^{3} [/mm] sind definiert durch
[mm] \Phi (r, \varphi, z) = (r\cos\varphi, r\sin\varphi, z) r \in \IR_0^+ , \varphi \in [0,2\pi), z \in \IR [/mm]
Berechnen Sie die Funktionaldeterminante [mm] det J_\phi(r,\varphi, z) [/mm] sowie
[mm]\integral \integral \integral_{M} yzdxdydz [/mm] für M = [mm] \left\{(x,y,z) \in \IR^{3} | |x|\le 1, x^{2} + y^{2}\le 1, 0 \le z \le y\right\}[/mm]
Skizzieren sie das Integrationsgebiet M. |
Hallo,
Die Funktionaldeterminante habe ich schon berechnet, sie ist ja bekanntlich r für Zylinderkoordinaten.
Dann fängt mein Problem aber leider schon an.
Ich will ja das Integral in Zylinderkoordinaten transformieren. Dafür brauche ich erstmal Grenzen...
Ich hatte mir überlegt
[mm] |x| \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 1 [/mm]
[mm]x^{2} + y^{2} \le 1 \Rightarrow |y| \le 1, -1 \le y \le 1[/mm]
[mm]0 \le z \le y \Rightarrow 0 \le z \le1[/mm]
Das heißt, ich habe mMn zumindest schonmal die Grenze für z, nämlich 0 bis 1.
Das heißt, ich habe bisher
[mm]
\integral_{0}^{1}\integral\integral r \sin\varphi z r d(r, \varphi, z)
[/mm]
Ist das richtig?
Mit Transformation folgt dann ja auch noch
[mm]-1 \le r\cos\varphi \le 1 [/mm]
[mm]-1 \le r\sin\varphi \le 1[/mm]
[mm]r^{2} \le 1 \Rightarrow r \le 1 [/mm]
Nur weiß ich nicht, wie ich jetzt auf die Grenzen für r und [mm] \varphi[/mm] komme. Das integrieren sollte, sobald ich die Genzen habe, dann ja kein Problem mehr darstellen.
Zudem kann ich mir leider auch überhaupt nicht vorstellen, wie das ganze Gebilde aussieht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lacrim91,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Zylinderkoordinaten im [mm]\IR^{3}[/mm] sind definiert durch
> [mm]\Phi (r, \varphi, z) = (r\cos\varphi, r\sin\varphi, z) r \in \IR_0^+ , \varphi \in [0,2\pi), z \in \IR[/mm]
>
> Berechnen Sie die Funktionaldeterminante [mm]det J_\phi(r,\varphi, z)[/mm]
> sowie
>
> [mm]\integral \integral \integral_{M} yzdxdydz[/mm] für M =
> [mm] \left\{(x,y,z) \in \IR^{3} | |x|\le 1, x^{2} + y^{2}\le 1, 0 \le z \le y\right\}[/mm]
>
> Skizzieren sie das Integrationsgebiet M.
> Hallo,
>
> Die Funktionaldeterminante habe ich schon berechnet, sie
> ist ja bekanntlich r für Zylinderkoordinaten.
>
> Dann fängt mein Problem aber leider schon an.
> Ich will ja das Integral in Zylinderkoordinaten
> transformieren. Dafür brauche ich erstmal Grenzen...
>
> Ich hatte mir überlegt
> [mm]|x| \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 1[/mm]
> [mm]x^{2} + y^{2} \le 1 \Rightarrow |y| \le 1, -1 \le y \le 1[/mm]
>
> [mm]0 \le z \le y \Rightarrow 0 \le z \le1[/mm]
>
> Das heißt, ich habe mMn zumindest schonmal die Grenze für
> z, nämlich 0 bis 1.
>
> Das heißt, ich habe bisher
> [mm]
\integral_{0}^{1}\integral\integral r \sin\varphi z r d(r, \varphi, z)
[/mm]
Die Grenze von z ist doch abhängig von r und [mm]\varphi[/mm]
>
> Ist das richtig?
>
> Mit Transformation folgt dann ja auch noch
> [mm]-1 \le r\cos\varphi \le 1[/mm]
> [mm]-1 \le r\sin\varphi \le 1[/mm]
>
> [mm]r^{2} \le 1 \Rightarrow r \le 1[/mm]
>
> Nur weiß ich nicht, wie ich jetzt auf die Grenzen für r
Die Grenzen für r bekommst Du aus [mm]x^{2}+y^{2} \le 1[/mm]
> und [mm]\varphi[/mm] komme. Das integrieren sollte, sobald ich die
Die Grenzen für [mm]\varphi[/mm] ergeben sich aus der Kenntnis, daß
[mm]r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm]
sein muss.
> Genzen habe, dann ja kein Problem mehr darstellen.
> Zudem kann ich mir leider auch überhaupt nicht
> vorstellen, wie das ganze Gebilde aussieht.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 17.05.2011 | | Autor: | Lacrim91 |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort :)
Also bestimme ich erst die Grenzen für r und [mm]\varphi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und erhalte dann für z eine Grenze die von diesen beiden Variablen abhängig ist?
Also aus $ x^{2}+y^{2} \le 1 $ erhalte ich ja
$ r \le 1$ ,wegen $ \sin^{2}+\cos^{2} = 1 $
Weiß ich dann schon, dass r von 0 bis 1 geht, weil $ r \in \IR_0^{+}? $ Oder übersehe ich hier jetzt was?
So, dann die Grenze für $ \varphi $
Ich weiß, $ r\cdot{}\sin\left(\varphi\right) \ge 0 $ , weil $ 0 \le y $ ist.
r ist positiv, also muss der $ \sin $ von $\varphi$ positiv sein.
Also habe ich dann als Grenzen für $\varphi$ $ 0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2} $?
Ich habe dann also
$ \integral_{0}^{r\sin\varphi}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{1} r^{2} \sin\varphi z d(r, \varphi, z)$
Irgendwie ist meine Grenze für z aber noch falsch, denn wenn ich das ganze dann integriere erhalte ich am Ende als Ergebnis
$-\bruch{1}{6}r^{2}\sin^{2}\varphi$
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Hallo Lacrim91,
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort :)
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> Also bestimme ich erst die Grenzen für r und [mm]\varphi[/mm] und
> erhalte dann für z eine Grenze die von diesen beiden
> Variablen abhängig ist?
Ja.
>
> Also aus [mm]x^{2}+y^{2} \le 1[/mm] erhalte ich ja
> [mm]r \le 1[/mm] ,wegen [mm]\sin^{2}+\cos^{2} = 1[/mm]
> Weiß ich dann schon,
> dass r von 0 bis 1 geht, weil [mm]r \in \IR_0^{+}?[/mm] Oder
> übersehe ich hier jetzt was?
>
> So, dann die Grenze für [mm]\varphi[/mm]
> Ich weiß, [mm]r\cdot{}\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm] , weil [mm]0 \le y[/mm]
> ist.
> r ist positiv, also muss der [mm]\sin[/mm] von [mm]\varphi[/mm] positiv
> sein.
> Also habe ich dann als Grenzen für [mm]\varphi[/mm] [mm]0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2} [/mm]?
Nicht ganz, [mm]y=r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm], wenn [mm]0 \le \varphi \le \pi[/mm]
>
> Ich habe dann also
>
> [mm]\integral_{0}^{r\sin\varphi}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{1} r^{2} \sin\varphi z d(r, \varphi, z)[/mm]
>
> Irgendwie ist meine Grenze für z aber noch falsch, denn
> wenn ich das ganze dann integriere erhalte ich am Ende als
> Ergebnis
>
> [mm]-\bruch{1}{6}r^{2}\sin^{2}\varphi[/mm]
>
Zuletzt (das außerste Integral) integrierst Du zwischen festen Grenzen.
Da die Grenzen von z von r und [mm]\varphi[/mm] abhängig sind,
ist dies das innerste Integral über dem zu integieren ist.
Das Volumenintegral kannst Du demnach wie folgt berechnen:
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\pi}}\integral_{0}^{r*\sin\left(\varphi\right)} r^{2} \sin\left(\varphi\right) z \ dz \ d\varphi \ dr[/mm]
Oder, da die beiden äusseren Integrale vertauschbar sind:
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{1}}\integral_{0}^{r*\sin\left(\varphi\right)} r^{2} \sin\left(\varphi\right) z \ dz \ dr \ d\varphi[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 17.05.2011 | | Autor: | Lacrim91 |
> Nicht ganz, [mm]y=r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm], wenn [mm]0 \le \varphi \le \pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ups, Denkfehler! Peinlich ^^
Meine Integrale sind
$\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} [r^{2}sin(\varphi)\bruch{1}{2}z^{2}]_{0}^{rsin\varphi} d \varphi dr$
Eingesetzt
$\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} \bruch{1}{2}z^{2}r^{3}sin^{3}(\varphi)} d \varphi dr$
Dann
$\integral_{0}^{1} r^{3}[(\bruch{1}{24}\cos({3\varphi})-9\cos(\varphi))]_{0}^{\pi}dr$
Wenn ich dann einsetze erhalte ich
$\integral_{0}^{1} r^{3} \bruch{215}{12} dr$
Daraus erhalte ich
$ [\bruch{215}{48}r^{4} ]_{0}^{1}$
Was dann als Endergebnis ein Volumen von $\bruch{215}{48} wäre. Kann das stimmen oder habe ich noch weitere Denkfehler eingebaut?
Außerdem kann ich mir immer noch nicht vorstellen, über was für ein Gebiet ich eigentlich integriere...
Danke für die Geduld
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Hallo Lacrim91,
> > Nicht ganz, [mm]y=r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm], wenn [mm]0 \le \varphi \le \pi[/mm]
>
> Ups, Denkfehler! Peinlich ^^
>
> Meine Integrale sind
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} [r^{2}sin(\varphi)\bruch{1}{2}z^{2}]_{0}^{rsin\varphi} d \varphi dr[/mm]
>
> Eingesetzt
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} \bruch{1}{2}z^{2}r^{3}sin^{3}(\varphi)} d \varphi dr[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} \bruch{1}{2}r^{\red{4}}sin^{3}(\varphi)} d \varphi dr[/mm]
>
> Dann
> [mm]\integral_{0}^{1} r^{3}[(\bruch{1}{24}\cos({3\varphi})-9\cos(\varphi))]_{0}^{\pi}dr[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\integral_{0}^{1} r^{4}[(\bruch{1}{24}\left \red{(}} \ \cos({3\varphi})-9\cos(\varphi))\ \right\red{)}]_{0}^{\pi}dr[/mm]
>
> Wenn ich dann einsetze erhalte ich
> [mm]\integral_{0}^{1} r^{3} \bruch{215}{12} dr[/mm]
>
> Daraus erhalte ich
> [mm][\bruch{215}{48}r^{4} ]_{0}^{1}[/mm]
>
> Was dann als Endergebnis ein Volumen von [mm]$\bruch{215}{48}[/mm]
> wäre. Kann das stimmen oder habe ich noch weitere
> Denkfehler eingebaut?
>
> Außerdem kann ich mir immer noch nicht vorstellen, über
> was für ein Gebiet ich eigentlich integriere...
Nun, das Gebiet stellt m.E. ein Zylinderabschnitt (Zylinderhuf) dar.
>
> Danke für die Geduld
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Di 17.05.2011 | | Autor: | Lacrim91 |
Vielen Dank.
Habe meine Fehler korrigiert und bekomme nun [mm] $\bruch{2}{15}$ [/mm] raus, das sollte soweit jetzt eigentlich richtig sein.
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Hallo Lacrim91,
> Vielen Dank.
>
> Habe meine Fehler korrigiert und bekomme nun [mm]\bruch{2}{15}[/mm]
> raus, das sollte soweit jetzt eigentlich richtig sein.
Jetzt stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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