Volumenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 So 22.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Gegeben sei das Feld [mm] U(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. [/mm] Berechnen Sie das Integral grad U über das Zylindervolumen (Radius a, Höhe h (0 [mm] \le z\le [/mm] h)), ohne den Satz von Gauß zu benutzen. |
Hallo,
zunächst muss man grad U berechnen: grad U = [mm] \vektor{2x \\ 2y\\ 2z}
[/mm]
Wahrscheinlich ist es einfacher, mit Zylinderkoordinaten zu rechnen. Es gilt: [mm] dV=r*d\phi*dr*dz [/mm] und [mm] x=r*cos(\phi),y=r*sin(\phi) [/mm] und z=z. Insgesamt erhalte ich damit das Integral eines Vektors dV=r [mm] d\phi [/mm] dr dz. Wie kann ich nun weiterrechnen, ohne den Satz von Gauß zu benutzen?
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei das Feld [mm]U(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.[/mm] Berechnen Sie
> das Integral grad U über das Zylindervolumen (Radius a,
> Höhe h (0 [mm]\le z\le[/mm] h)), ohne den Satz von Gauß zu
> benutzen.
> Hallo,
> zunächst muss man grad U berechnen: grad U = [mm]\vektor{2x \\ 2y\\ 2z}[/mm]
>
> Wahrscheinlich ist es einfacher, mit Zylinderkoordinaten zu
> rechnen. Es gilt: [mm]dV=r*d\phi*dr*dz[/mm] und
> [mm]x=r*\cos(\phi),y=r*\sin(\phi)[/mm] und z=z. Insgesamt erhalte ich
> damit das Integral eines Vektors [mm]dV=r d\phi dr dz[/mm] . Wie kann
> ich nun weiterrechnen, ohne den Satz von Gauß zu
> benutzen?
Du musst jede Komponente des Vektors grad U einzeln integrieren.
Zylinderkoordinaten sind der beste Weg; jetzt musst du dir noch überlegen, wie die Grenzen für die Integration über $r$, [mm] $\phi$ [/mm] und $z$ aussehen und dann einsetzen:
[mm] \integral \mathop{\mathrm{grad}} U dV = \iiint \vektor{2x \\ 2y\\ 2z} r\, d\phi\, dr\, dz = \iiint \vektor{2r\cos\phi\\2r\sin\phi\\z}r \,d\phi\, dr \,dz [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 22.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Wenn ich für r die Integralgrenzen 0 bis a, für [mm] \phi [/mm] die Integralgrenzen 0 bis [mm] 2\pi [/mm] und für z die Integralgrenzen 0 bis h wähle, erhalte ich als Ergebnis den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \pi*a^2*h^2}
[/mm]
Ist es richtig, dass mein Ergebnis ein Vektor ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 22.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
im zweiten Teil der Aufgabe, soll ich zeigen, dass man dasselbe Ergebnis erhält, wenn man [mm] \integral{U(x,y,z) d \overrightarrow{F}} [/mm] berechnet, also müsste das ja eigentlich gleich [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \pi*a^2*h^2} [/mm] sein. Für die Mantelfläche erhalte ich den Nullvektor, für die obere Kreisscheibe [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \pi*a^2*h^2+\pi*a^4/2} [/mm] und für die untere [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \\ \pi*a^4/2}. [/mm] Da die drei Vektoren addiert werden müssen, müsste der Vektor der dirtten Fläche negativ sein. Liegt das daran, dass ich beim Kreuzprodukt die beiden Faktoren vertauschen muss? Woher weiß ich denn, welcher Faktor vorne stehen muss?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> im zweiten Teil der Aufgabe, soll ich zeigen, dass man
> dasselbe Ergebnis erhält, wenn man [mm]\integral{U(x,y,z) d \overrightarrow{F}}[/mm]
> berechnet, also müsste das ja eigentlich gleich [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \pi*a^2*h^2}[/mm]
> sein. Für die Mantelfläche erhalte ich den Nullvektor,
> für die obere Kreisscheibe [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \pi*a^2*h^2+\pi*a^4/2}[/mm]
> und für die untere [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \\ \pi*a^4/2}.[/mm] Da die
> drei Vektoren addiert werden müssen, müsste der Vektor
> der dirtten Fläche negativ sein. Liegt das daran, dass ich
> beim Kreuzprodukt die beiden Faktoren vertauschen muss?
> Woher weiß ich denn, welcher Faktor vorne stehen muss?
Wenn du über den Satz von Gauss und das Oberflächenintegral rechnest, so musst der Normalenvektor auf die Fläche immer nach außen zeigen. Also muss er auf der oberen Kreisscheibe nach oben und auf der unteren Kreisscheibe nach unten zeigen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 22.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe es jetzt verstanden.
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