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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:54 Mo 02.03.2009 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | Seien [mm]K\subseteq F[/mm] Körper. [mm]S[/mm] Teilmenge von [mm]F[/mm].
[mm]K(S):=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E\subseteq F}E[/mm]
und
[mm]K[S]:=\bigcap_{R...Ring, K\cup S\subseteq R\subseteq F}R[/mm]
Dann gilt: Wenn [mm]K[S][/mm] ein Körper ist, dann gilt [mm]K[S]=K(S)[/mm] |
Servus!
Ich hänge gerade beim beweisen der obigen Aussage
Mein Ansatz:
Da jeder Körper Ring ist, gilt ja schonmal [mm]K[S]\subseteq K(S)[/mm]
zu zeigen wäre für mich also noch, dass wenn [mm]K[S][/mm] Körper ist, auch [mm]K(S)\subseteq K[S][/mm] gilt. Sprich jeder Ring [mm]R[/mm] mit
[mm]K\cup S\subseteq R\subseteq F[/mm] auch ein Körper ist.
Wenn [mm]K[S][/mm] Körper ist, dann gilt ja schonmal, dass das Einselement in allen [mm]R[/mm] mit der obigen Eigenschaft enthalten sein muss, weil es eben im Durchschnitt dieser enthalten ist. Da [mm]F[/mm] als Körper kommutativ ist, muss auch gelten, dass jedes [mm]R\subseteq F[/mm] auch kommutativ ist. Was also noch fehlt zu zeigen ist, dass jeder Ring mit [mm]K\cup S\subseteq R\subseteq F[/mm] lauter invertierbare Elemente besitzt. Da [mm]K[/mm] und [mm]S[/mm]
in [mm]K[S][/mm] enthalten sind, bedeutet dies, dass alle Elemente aus
[mm]K\cup S[/mm] auch in den einzelnen [mm]R[/mm] invertierbar sein müssen. Mein Problem ist es nun zu zeigen, dass für ein [mm]r\in R\setminus (K\cup S)[/mm] auch Inverse in [mm]R[/mm] existieren. Ich bin mir aber da nicht sicher wie ich das am besten anstelle und wäre für Denkanregungen sehr, sehr dankbar.
lG
Philipp
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=388695
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mo 02.03.2009 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | | Aufgabenstellung wie oben |
Ich hab nun einen anderen Ansatz verfolgt, der mich zu einer Lösung bringt. Allerdings wirkt diese fast zu einfach, weshalb ich ihr nicht ganz traue, und ich bitten würde, dass mich jemand auf etwaige Denkfehler hinweist:
Wie gesagt gilt ja schon nach Definition:
[mm]K[S]\subseteq K(S)[/mm]
Wenn nun [mm]K[S][/mm] selbst ein Körper ist, dann gilt ja:
[mm]K(S)=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E \subseteq F}E=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E \subseteq F,E \neq K[S]}E\cap K[S]\subseteq K[S][/mm]
Hab ich da irgendetwas übersehen? Kommt mir nämlich zu einfach vor.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mo 02.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Aufgabenstellung wie oben
> Ich hab nun einen anderen Ansatz verfolgt, der mich zu
> einer Lösung bringt. Allerdings wirkt diese fast zu
> einfach, weshalb ich ihr nicht ganz traue, und ich bitten
> würde, dass mich jemand auf etwaige Denkfehler hinweist:
>
>
> Wie gesagt gilt ja schon nach Definition:
> [mm]K[S]\subseteq K(S)[/mm]
>
> Wenn nun [mm]K[S][/mm] selbst ein Körper ist, dann gilt ja:
> [mm]K(S)=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E \subseteq F}E=\bigcap_{E...Koerper, K\cup S\subseteq E \subseteq F,E \neq K[S]}E\cap K[S]\subseteq K[S][/mm]
>
> Hab ich da irgendetwas übersehen? Kommt mir nämlich zu
> einfach vor.
Das ist so richtig. Es ist wirklich so einfach :)
LG Felix
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