Vorgehensweise DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Leute,
brauch mal Hilfe beim Finden "aller Lösungen" von folgender Gleichung:
y''(t)+2py'(t)+qy(t)=t
Zuerst bestimme ich die allgemeine Lösung der homogenen DGL.
Da q und p aber unbestimmt sind, muss ich drei Fälle unterscheiden, je nachdem, ob die Diskriminante unter der Wurzel beim Lösen der Fundamentalbasis >0, =0 oder <0 ist.
D.h ich mache eine Fallunterscheidung, abhängig von p und q.
Komme also auf drei mögliche Lösungsfunktionen.
Mit dem "Ansatz der Inhomogenität" finde ich dann eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL (nach der Seite hier [mm] http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html).
[/mm]
Das Problem ist: Je nachdem, wie p und q hier sind, muss man seinen Ansatz wählen, heißt, es gibt wieder 3 Fälle mit 3 speziellen Lösungen.
Wenn zB. der erste Fall der homogenen Lösung dem ersten Fall der speziellen Lösung widerspricht, kann ich die beiden nicht kombinieren. Wenn der erste Fall aber für manche p und q mit dem ersten Fall der speziellen Lösung kombinierbar ist, kann ich meine Endlösung aufschreiben. Muss ich dann jene p und q dann auch berechnen?
Irgendwie glaube ich, dass ich es mir viel zu kompliziert mache.
Gruß
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> Hey Leute,
>
> brauch mal Hilfe beim Finden "aller Lösungen" von
> folgender Gleichung:
>
> y''(t)+2py'(t)+qy(t)=t
>
> Zuerst bestimme ich die allgemeine Lösung der homogenen
> DGL.
> Da q und p aber unbestimmt sind, muss ich drei Fälle
> unterscheiden, je nachdem, ob die Diskriminante unter der
> Wurzel beim Lösen der Fundamentalbasis >0, =0 oder <0
> ist.
> D.h ich mache eine Fallunterscheidung, abhängig von p und
> q.
> Komme also auf drei mögliche Lösungsfunktionen.
>
Hallo, zumindest zum bestimmen der Lösung der homogenen Lösung geht es meiner Meinung nach einfacher ohne Fallunterscheidung mit dem Exponentialansatz:
Wir suchen $y(t)$ mit $y''+2py'+qy=0$
Setze [mm] $y(t):=e^{\lambda{}t}$, [/mm] damit wird die obige Gleichung zu
[mm] $\lambda{}^{2}e^{\lambda{}t}+2p\lambda{}e^{\lambda{}t}+qe^{\lambda{}t}=0$ [/mm] , dann teilt man durch [mm] $e^{\lambda{}t}\not=0$ [/mm] und erhält in diesem Fall eine quadratische Gleichung für [mm] $\lambda{}: \lambda{}^2+2p\lambda{}+q=0. [/mm] $Dann bestimmt man die Nullstellen mit z.b. pq-Formel und hat sein Fundamentalsystem. Es wäre in diesem Fall [mm] $C_{1}\cdot{}e^{\lambda{}_1t}+C_{2}\cdot{}e^{\lambda{}_2t}$ [/mm] für [mm] $\lambda{}_1 \not= \lambda{}_2$ [/mm] und [mm] $C_{1}\cdot{}e^{\lambda{}_1t}+C_{2}\cdot{}t\cdot{}e^{\lambda{}_2t}$ [/mm] für [mm] $\lambda{}_1 [/mm] = [mm] \lambda{}_2$
[/mm]
mit [mm] $\lambda{}_{1/2}=-p\pm\sqrt{p^2-q}$ [/mm] und [mm] C_1,C_2 [/mm] konstanten.
Gruß helicopter
> Mit dem "Ansatz der Inhomogenität" finde ich dann eine
> spezielle Lösung der inhomogenen DGL (nach der Seite hier
> [mm]http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html).[/mm]
> Das Problem ist: Je nachdem, wie p und q hier sind, muss
> man seinen Ansatz wählen, heißt, es gibt wieder 3 Fälle
> mit 3 speziellen Lösungen.
>
> Wenn zB. der erste Fall der homogenen Lösung dem ersten
> Fall der speziellen Lösung widerspricht, kann ich die
> beiden nicht kombinieren. Wenn der erste Fall aber für
> manche p und q mit dem ersten Fall der speziellen Lösung
> kombinierbar ist, kann ich meine Endlösung aufschreiben.
> Muss ich dann jene p und q dann auch berechnen?
>
> Irgendwie glaube ich, dass ich es mir viel zu kompliziert
> mache.
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey, danke für Deine Antwort!
Genau so habe ich es auch gemacht, jedoch muss man doch 3 Fälle für den Term unter der Wurzel unterscheiden.
Deine Lösung gilt nur für den Fall, dass [mm] p^{2}-q [/mm] > 0 ist.
Wenn zB. [mm] p^{2}-q [/mm] < 0 ist, so kriegt man komplexe [mm] \lambda [/mm] heraus, und die Lösung wird am Ende etwas mit Sinus und Cosinus.
Gruß
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> Hey, danke für Deine Antwort!
>
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> Genau so habe ich es auch gemacht, jedoch muss man doch 3
> Fälle für den Term unter der Wurzel unterscheiden.
> Deine Lösung gilt nur für den Fall, dass [mm]p^{2}-q[/mm] > 0
> ist.
> Wenn zB. [mm]p^{2}-q[/mm] < 0 ist, so kriegt man komplexe [mm]\lambda[/mm]
> heraus, und die Lösung wird am Ende etwas mit Sinus und
> Cosinus.
>
> Gruß
Hallo,
die Lösung gilt auch für [mm] $p^{2}-q [/mm] < 0$ , in dem Fall wäre das [mm] \lambda [/mm] eben komplex. Die Darstellung mit Sinus und Cosinus kommt daher, das auch die Linearkombinationen einer Lösung wieder Lösungen der DGL sind. Wenn man dann die Eulerformel anwendet erhält man die Lösung mit Sinus und Cosinus.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Also ist diese Unterscheidung rein mathematisch gar nicht nötig?
Wie ist es, wenn die Diskriminante = 0 ist.
Dann haben wir ja nur ein [mm] \lambda.
[/mm]
In meinem Skript steht dann eine Lösung der Form [mm] (C_{1}+C_{2}) e^{ \lambda t } [/mm] t. Wo kommt denn dann das t am Ende her?
Es müsste doch dann eigentlich
[mm] C_{1}e^{ \lambda t } [/mm] + [mm] C_{2} e^{ \lambda t } [/mm] sein?
Gruß
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Hallo Paivren,
> Also ist diese Unterscheidung rein mathematisch gar nicht
> nötig?
> Wie ist es, wenn die Diskriminante = 0 ist.
> Dann haben wir ja nur ein [mm]\lambda.[/mm]
Und das ist doppelte Lösung.
> In meinem Skript steht dann eine Lösung der Form
> [mm](C_{1}+C_{2}) e^{ \lambda t }[/mm] t. Wo kommt denn dann das t
> am Ende her?
Wahrscheinlich ein Druckfehler.
> Es müsste doch dann eigentlich
> [mm]C_{1}e^{ \lambda t }[/mm] + [mm]C_{2} e^{ \lambda t }[/mm] sein?
>
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]C_{1}e^{ \lambda t } + C_{2} \blue{t}e^{ \lambda t }[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Mathepower,
aber wo kommt dann das t in der Klammer her?
Sorry, wenn ich was auf dem Schlauch stehe.
Gruß
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Hallo Paivren,
> Hey Mathepower,
>
> aber wo kommt dann das t in der Klammer her?
> Sorry, wenn ich was auf dem Schlauch stehe.
>
Das kommt daher, weil das [mm]\lambda[/mm] doppelt ist.
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Wo ist da der Zusammenhang?
Das sieht für mich aus, als wenn man einfach irgendwo ein t hingeschrieben hätte, ohne mathematischen Grund...
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Hallo Paivren,
> Wo ist da der Zusammenhang?
> Das sieht für mich aus, als wenn man einfach irgendwo ein
> t hingeschrieben hätte, ohne mathematischen Grund...
Die DGL
[mm]y''+2*p*y'+p^{2}*y=0[/mm]
wird von der Funktion [mm]e^{-p*t}[/mm] gelöst.
Eine zweite linear unabhängige Lösung ist [mm]\blue{t}e^{-p*t}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Ok, dann muss ich allerdings DOCH eine Fallunterscheidung machen, weil die Form der Lösung bei D=0 (doppelte Nullstelle) anders ist als bei [mm] D\not=0.
[/mm]
[mm] \lambda1 [/mm] = [mm] \lambda2 [/mm] -> [mm] e^{-pt} (C_{1}+C_{2} [/mm] t )
[mm] \lambda1 \not= \lambda2 [/mm] -> [mm] C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}
[/mm]
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Hallo Paivren,
> Ok, dann muss ich allerdings DOCH eine Fallunterscheidung
> machen, weil die Form der Lösung bei D=0 (doppelte
> Nullstelle) anders ist als bei [mm]D\not=0.[/mm]
>
> [mm]\lambda1[/mm] = [mm]\lambda2[/mm] -> [mm]e^{-pt} (C_{1}+C_{2}[/mm] t )
> [mm]\lambda1 \not= \lambda2[/mm] ->
> [mm]C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Ok, damit wäre der homogene Teil erledigt, danke schonmal!
Nehmen wir also an, es ist [mm] D=p^{2}-q\not=0, [/mm] das sei Bedingung A.
Dann ist [mm] y_{hom}(t)=C_{0}e^{(-p+\wurzel[2]{p^{2}-q})t}+ C_{1}e^{(-p-\wurzel[2]{p^{2}-q})t}
[/mm]
Betrachtung des inhomogenen Falls:
y''(t)+2py'(t)+qy(t) = t
Ansatz in Form der Inhomogenität:
[mm] http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html
[/mm]
Für [mm] q\not=0: [/mm] y(t)=at+b
Nach Einsetzen und Koeff. Abgleich ergibt sich spezielle Lösung [mm] y_{s}(t)=\bruch{1}{a}t [/mm] - [mm] \bruch{2p}{q^{2}}
[/mm]
Allg. Lsg d inhom. DGL:
[mm] Y_{inhom}(t)=y_{hom}(t) [/mm] + [mm] y_{s}(t)
[/mm]
Für q=0, [mm] p\not=0: y(t)=at^{2}+bt
[/mm]
Nach Einsetzen und Koeff. Abgleich ergibt sich spezielle Lösung
[mm] y_{s}(t)=\bruch{1}{4p}t^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4p^{2}}t
[/mm]
Dann wieder Angabe der allgemeinen Lösung.
Für q=0, p=0: Dieser Fall ist nicht möglich, da ich oben nach Bedingung A ja [mm] p^{2}-q\not=0 [/mm] habe, was ein Widerspruch ist.
So richtig?
Und jetzt das ganze nochmal für Fall B, dass [mm] D=p^{2}-q=0.
[/mm]
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Hallo Paivren,
> Ok, damit wäre der homogene Teil erledigt, danke
> schonmal!
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> Nehmen wir also an, es ist [mm]D=p^{2}-q\not=0,[/mm] das sei
> Bedingung A.
> Dann ist [mm]y_{hom}(t)=C_{0}e^{(-p+\wurzel[2]{p^{2}-q})t}+ C_{1}e^{(-p-\wurzel[2]{p^{2}-q})t}[/mm]
>
> Betrachtung des inhomogenen Falls:
> y''(t)+2py'(t)+qy(t) = t
> Ansatz in Form der Inhomogenität:
>
> [mm]http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html[/mm]
>
> Für [mm]q\not=0:[/mm] y(t)=at+b
> Nach Einsetzen und Koeff. Abgleich ergibt sich spezielle
> Lösung [mm]y_{s}(t)=\bruch{1}{a}t[/mm] - [mm]\bruch{2p}{q^{2}}[/mm]
>
> Allg. Lsg d inhom. DGL:
> [mm]Y_{inhom}(t)=y_{hom}(t)[/mm] + [mm]y_{s}(t)[/mm]
>
>
> Für q=0, [mm]p\not=0: y(t)=at^{2}+bt[/mm]
> Nach Einsetzen und
> Koeff. Abgleich ergibt sich spezielle Lösung
> [mm]y_{s}(t)=\bruch{1}{4p}t^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4p^{2}}t[/mm]
>
> Dann wieder Angabe der allgemeinen Lösung.
>
>
> Für q=0, p=0: Dieser Fall ist nicht möglich, da ich oben
> nach Bedingung A ja [mm]p^{2}-q\not=0[/mm] habe, was ein
> Widerspruch ist.
>
>
> So richtig?
Ja.
> Und jetzt das ganze nochmal für Fall B, dass
> [mm]D=p^{2}-q=0.[/mm]
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Ok, Fall B: [mm] p^{2}-q=0
[/mm]
Homogene Lösung ist ja klar.
Ansatz d. Inhomogenität für [mm] Y_{s}:
[/mm]
1. Fall [mm] q\not=0: [/mm] Y(t)=at+b
--> [mm] y_{s}(t)=\bruch{1}{q}t [/mm] - [mm] \bruch{2p}{q^{2}}
[/mm]
Das gilt wegen B aber nur für all p und q, die [mm] p=\wurzel{q} [/mm] erfüllen. Muss ich das explizit hinschreiben, oder kann man das weglassen?
2. Fall: q=0, [mm] p\not=0 [/mm] Nicht möglich wegen Widerspruch zu B.
3. Fall p=0, q=0: [mm] y(t)=at^{3}+bt^{2}
[/mm]
--> [mm] y_{s}=\bruch{1}{6} t^{3}
[/mm]
Dann habe ich insgesamt 4 mögliche allgemeine Lösungen anzugeben, 2 für Fall A und zwei für Fall B.
Bestätigt :D?
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Hallo Paivren,
> Ok, Fall B: [mm]p^{2}-q=0[/mm]
> Homogene Lösung ist ja klar.
>
> Ansatz d. Inhomogenität für [mm]Y_{s}:[/mm]
> 1. Fall [mm]q\not=0:[/mm] Y(t)=at+b
> --> [mm]y_{s}(t)=\bruch{1}{q}t[/mm] -
> [mm]\bruch{2p}{q^{2}}[/mm]
> Das gilt wegen B aber nur für all p und q, die
> [mm]p=\wurzel{q}[/mm] erfüllen. Muss ich das explizit hinschreiben,
> oder kann man das weglassen?
>
> 2. Fall: q=0, [mm]p\not=0[/mm] Nicht möglich wegen Widerspruch zu
> B.
>
> 3. Fall p=0, q=0: [mm]y(t)=at^{3}+bt^{2}[/mm]
> --> [mm]y_{s}=\bruch{1}{6} t^{3}[/mm]
>
>
> Dann habe ich insgesamt 4 mögliche allgemeine Lösungen
> anzugeben, 2 für Fall A und zwei für Fall B.
> Bestätigt :D?
Für die inhomogenen Lösungen, ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:06 Do 11.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Alles klar, vielen, vielen Dank!
Parameter als Koeffizienten haben mich ziemlich durcheinander gebracht.
Gruß und gute Nacht!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Mi 10.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Hier
[mm] http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html
[/mm]
und hier
[mm] http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html
[/mm]
findest Du alles , was Du brauchst.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Fred, Du hast mir da zwei mal den gleichen Link geschickt, und auf der Seite war ich schon (siehe Fragepost).
Geht um die Kombination der Fallunterscheidungen für die homogene Lösung und für die spezielle Lösung. Aber wie Helicopter mir gerade zu erklären versucht, ist meine Fallunterscheidung für die homogene Lösung wohl nicht nötig gewesen.
Gruß
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