Vorstellen von Grad, Div. Lap. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Sa 16.12.2006 | | Autor: | pyro |
Hallo!
Ich habe kein konkretes Problem, aber möchte etwas zum Verständnis wissen.
Wir haben gelernt dass es den Gradienten, die Divergenz und den Laplace Operator gibt, der beides kombiniert.
Den Gradient habe ich so verstanden: Er gibt für eine Funktion immer die höchste Steigung aus. Im Beispiel mit einem Höhenprofil zeigt er also immer dahin, wo es am steilsten hoch geht.
Die Divergenz ergibt mir einen Wert, wie die Gesamtsumme der Ableitungen an einem Punkt ist. Wie ist das nun wenn ich mir ein eindimensionales Höhenprofil vorstelle. Es soll in x Richtung eben sein, dann ansteigen und wieder abfallen, und dann wieder eben sein. Gibt dann die Divergenz für den Teil des Anstieges einen positiven Wert, und dort wo die Höhe wieder abfällt einen negativen Wert aus? Wie wäre das denn wenn ich eine Funktion für positive und negative Ladungen auf einer Platte habe? Also angenommen alles ist neutral aber an einem Punkt sammeln sich positive Ladungen. Gibt mir dann die Divergenz an wie die Spannung steigt und sinkt, oder was?
So, noch eine Frage:
Nun habe ich in meinem Skrip stehen, dass man mit dem Laplace Operator beides verknüpfen kann. Also erst den Gradienten bilden, und dann die Divergenz. Nun aber meine Frage: Wie kann ich mir das vorstellen? Was stellt das denn dar? Irgendwie kann ich mir das nicht vorstellen!
Würde mich über einen Rat freuen.
Gruß
axim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 16.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo pyro
Nicht alles kann man sich wirklich vorstellen.
Aber erst mal nen gründlichen Irrtum beseitigen: grad wendet man auf Funktionen (in Physik [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] an,
div wendet man auf Vektorfelder an.
Deshalb ist dein Bild für div völlig falsch, weil es sich ja nicht auf Vektorfelder bezieht.
Man bezichnet div auch als "lokale Quellstärke" wenn ein Vektorfeld V keine Quellen hat, ist div V=0 das heisst anschaulich in ein Volumenelement treten genausoviel Feldlinien ein wie aus.
Sich 2. Ableitungen vorzustellen ist schon 1-d schwierig, du siehst z. Bsp. s''(t)=a im Allgemeinen als v'(t) und stellst es dir dann vor,eben als änderung der Geschw. aber nicht nicht aber direkt als 2. Ableitung des Weges.
Deshalb ist es wohl noch viel weniger möglich, sich div(grad..) vorzustellen, aber man gewöhnt sich dran, und lernt, was man damit leisten kann. Am nächsten kommst du wie im 1-d noch einer Vorstellung, wenn du dir den grad einer Fkt. vorstellst, das daraus entstehende Vektorfeld, und dann wieder den daraus entstehenden Skalar div.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 16.12.2006 | | Autor: | pyro |
>Am nächsten kommst du wie im 1-d noch einer Vorstellung,
>wenn du dir den grad einer Fkt. vorstellst, das daraus
>entstehende Vektorfeld, und dann wieder den daraus
>entstehenden Skalar div.
>Gruss leduart
Ganau das war der Punkt wo ich unsicher war/bin. Angenommen eindimensional geht es einen Berg rauf und runter. Also ein eindimensionaler Vektor in x-Richtung. Die y-Achse stellt den Funktionswert dar. Dann gibt mir der Gradient ein Vektorfeld welches Richtung Hügel zeigt (also auf der linken Seite Pfeile nach rechts, und auf der rechten Pfeile nach links). Die Quellendichte müsste doch wenn es gleichmäßig hinauf und hinab geht dann für die aufsteigende Hälfte immer z.B. 1 und für die andere fallende Hälfte -1 ergeben.
So. Nun stelle ich mir die Funktion vor, und wende darauf die Divergenz an. Da bei gleichmäßigem Anstieg die Vektoren immer die gleiche Länge und den gleichen Betrag je Seite haben (in Richtung Bergspitze), müsste doch grad und dann div immer 0 ergeben, außer die Steigung ändert sich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Sa 16.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo pyro
> Ganau das war der Punkt wo ich unsicher war/bin. Angenommen
> eindimensional geht es einen Berg rauf und runter. Also ein
> eindimensionaler Vektor in x-Richtung. Die y-Achse stellt
> den Funktionswert dar. Dann gibt mir der Gradient ein
> Vektorfeld welches Richtung Hügel zeigt (also auf der
> linken Seite Pfeile nach rechts, und auf der rechten Pfeile
> nach links). Die Quellendichte müsste doch wenn es
> gleichmäßig hinauf und hinab geht dann für die aufsteigende
> Hälfte immer z.B. 1 und für die andere fallende Hälfte -1
> ergeben.
Da ist keine Quelle, durch edes x-Intervall tritt ein vektor ein und wieder raus, d.h. links und rechts ist es derselbe, also div=0 wie man auch ausrechnet.
> So. Nun stelle ich mir die Funktion vor, und wende darauf
> die Divergenz an. Da bei gleichmäßigem Anstieg die Vektoren
> immer die gleiche Länge und den gleichen Betrag je Seite
> haben (in Richtung Bergspitze), müsste doch grad und dann
> div immer 0 ergeben, außer die Steigung ändert sich?
j, richtig. ein konstantes Vektorfeld hat die div 0.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 So 17.12.2006 | | Autor: | pyro |
Gut dann danke nochmal, wahrscheintlich ist es nur wie du es sagst, nach einer Weile Anwendung sieht man bestimmt mehr!
Danke
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Hallo!
Obwohl Leduart dir ja schon sehr viel geschrieben hat, habe ich nochwas für dich. Ich hatte mal vor kurzem hier was über den Nabla-Operator geschrieben, evtl interessiert dich diese Kurzschreibweise von div, grad und rot auch.
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