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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Do 10.01.2013 | | Autor: | Lena23 |
| Aufgabe | Seien [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] Maschinenzahlen und sei [mm] f(a_{1},...,a_{n})=\summe_{i=1}^{n}a_{i}. [/mm] Der Computer habe die Maschinengenauigkeit [mm] \varepsilon. [/mm] Auf dem Computer wird f in der Form [mm] \tilde f(a_{1},...,a_{n})=(...((a_{1}\oplus a_{2})\oplus a_{3})\oplus ...)\oplus a_{n} [/mm] berechnet.
a) Machen Sie eine Vorwärtsanalyse für f, d.h. [mm] \tilde f(a_{1},...,a_{n})=f(a_{1},...,a_{n})+\varepsilon [/mm] und [mm] |\varepsilon| [/mm] ist geeignet abzuschätzen.
b) Machen Sie eine Rückwärtsanalyse für f, d.h. [mm] \tilde f(a_{1},...,a_{n})=f(a_{1}(1+\delta_{1}1),...,a_{n}(1+\delta_{n})) [/mm] und [mm] |\delta_{1}|,...,|\delta_{n}| [/mm] sind geeignet abzuschätzen.
c) Zeigen Sie, dass für den Fehler zwischen [mm] $\tilde [/mm] f$ und f gilt:
[mm] |\tilde f(a_{1},...,a_{n})−f(a_{1},...,a_{n})| \le \varepsilon \summe_{i=1}^{n} [/mm] ∣n−i+1∣ [mm] |a_{i}|.
[/mm]
Terme der Größenordnung [mm] \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3},... [/mm] dürfen als näherungsweise 0 vernachlässigt werden. |
Hallo! 
Da ich das mit der Vorwärts- und Rückwärtsanalyse noch nicht so wirklich verstanden habe, wollte ich mal fragen, ob mir eventuell hier jemand bei der Lösung folgender Aufgabe helfen kann.
Über Hilfe würde ich mich wirklich freuen!
Liebe Grüße
Lena
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Hallo Lena,
Maschinenzahlen sind genau darstellbar, d.h. ein Fehler entsteht nur bei den Rechenoperationen. Hierbei gilt eine rechenoperation selbst wird exakt ausgeführt bis auf den rundungsfehler. Also kannst du loslegen mit den ersten 2-3 + operationen, dann siehst du sicher wie's läuft. Bei vorwärtsanalyse mit den ersten operationen anfangen [mm]a_1+a_2[/mm] Bei rückwärtsanalyse mit den letzten also hier zunächst an [mm]\delta_{n}[/mm] überlegen.
viele grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 10.01.2013 | | Autor: | Lena23 |
Gut dann versuche ich das erstmal für die Summe dreier Zahlen:
Vorwärtsanalyse:
[mm] \tilde x_{1}=a_{1}\oplus a_{2}=(a_{1} [/mm] + [mm] a_{2})(1+\varepsilon_{1})
[/mm]
[mm] \tilde x_{2}=\tilde x_{1}\oplus a_{3}=(\tilde x_{1} [/mm] + [mm] a_{3})(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
mit [mm] |\varepsilon_{1}|,|\varepsilon_{2}| \le [/mm] u
Also
[mm] \tilde x_{2}=(\tilde x_{1} [/mm] + [mm] a_{3})(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
[mm] =((a_{1} [/mm] + [mm] a_{2})(1+\varepsilon_{1}) [/mm] + [mm] a_{3})(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
[mm] =(a_{1} [/mm] + [mm] a_{2})(1+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}) [/mm] + [mm] a_{3}(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
[mm] \approx (a_{1} [/mm] + [mm] a_{2})(1+\gamma_{1}) [/mm] + [mm] a_{3}(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
[mm] \approx (a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3})(1+\gamma_{1})
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{3} a_{i} (1+\gamma_{1})
[/mm]
mit [mm] |\gamma_{1}| \le [/mm] 2u.
Rückwärtsanalyse:
[mm] \tilde x_{1}=a_{1}\oplus a_{2}=(a_{1} [/mm] + [mm] a_{2})(1+\varepsilon_{1})
[/mm]
[mm] a_{1}(1+\varepsilon_{1}) [/mm] + [mm] a_{2}(1+\varepsilon_{1})
[/mm]
[mm] \tilde x_{2}=\tilde x_{1}\oplus a_{3}=(\tilde x_{1} [/mm] + [mm] a_{3})(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
[mm] =a_{1}(1+\varepsilon_{1})(1+\varepsilon_{2}) [/mm] + [mm] a_{2}(1+\varepsilon_{1})(1+\varepsilon_{2}) [/mm] + [mm] a_{3}(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
[mm] \approx a_{1}(1+\delta_{1}) [/mm] + [mm] a_{2}(1+\delta_{1}) [/mm] + [mm] a_{3}(1+\varepsilon_{2})
[/mm]
mit [mm] |\varepsilon_{1}|, |\varepsilon_{2}| \le [/mm] u und [mm] |\delta_{1}| \le [/mm] 2u
Stimmt das so und wenn ja, wie könnte ich das denn jetzt auf meine Aufgabe anwenden?
Grüße Lena
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Hallo Lena,
Ja. Jetzt müsstest Du das Prinzip erkennen und auf die summe über n erweitern.
Grüße
mathemaduenn
P.S: Mit Blick auf c ist die Abschätzung für die Vorwärtsanalyse ein bisschen grob.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:31 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Lena23 |
Also ich habe das jetzt mal ein bisschen anders gemacht und versuche mich mal an der Vorwärtsanalyse. Ist das in der Aufgabenstellung richtig, dass [mm] \varepsilon [/mm] die Maschinengenauigkeit ist und in Aufgabe a) abgeschätzt werden soll? Ich habe mir vorsichtshalber mal [mm] \alpha [/mm] genommen oder ist das falsch?
a)
[mm] \tilde f(a_{1},...,a_{n})=\summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] + [mm] \alpha
[/mm]
[mm] f(a_{1},...,a_{n})=\summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (...((a_{1}(1+\alpha_{1})+a_{2}(1+\alpha_{2}))(1+\delta_{1}))+...
[/mm]
d.h. [mm] |\alpha_{i}|< \varepsilon, |\delta_{i}|< \varepsilon
[/mm]
[mm] =(a_{1}(1+\alpha_{1})(1+\delta_{1}) [/mm] ... [mm] (1+\delta_{n-1})
[/mm]
[mm] +(a_{2}(1+\alpha_{2})(1+\delta_{1}) [/mm] ... [mm] (1+\delta_{n-1})...
[/mm]
[mm] \approx a_{1}(1+\alpha_{1}+\delta_{1}+ [/mm] ...+ [mm] \delta_{n-1})
[/mm]
+ [mm] a_{2}(1+\alpha_{2}+\delta_{1}+ [/mm] ...+ [mm] \delta_{n-1}) [/mm] +....
[mm] 1+\gamma_{1}\equiv 1+\alpha_{1}+\delta_{1}+ [/mm] ...+ [mm] \delta_{n-1}
[/mm]
[mm] 1+\gamma_{i}\equiv 1+\alpha_{i}+\delta_{i}+ [/mm] ...+ [mm] \delta_{n-1} [/mm] für i>2
[mm] \Rightarrow |\gamma_{i}|<(n-i+1) \varepsilon
[/mm]
Daher:
[mm] \tilde f=a_{1}+...+ a_{n}+\summe_{i=1}^{n} a_{i} \gamma_{i} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |\varepsilon|= \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
< [mm] |a_{1}| n\varepsilon [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{n} |a_{i}| [/mm] (n-i+1) [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich hoffe das ist richtig.
Die Rückwärtsanalyse krieg ich warum auch immer nicht wirklich hin...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Lena23 |
Es wäre ganz lieb, wenn ich die Aufgabe heute noch fertig kriege und verstehe also bitte bitte helft mir :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 13.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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