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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Blefix |
| Aufgabe | X,Y: omega [mm] \to \IN [/mm] , sei Unabhängig.
Zeige [mm] G_{X+Y}(Z)=G_{X}(Z)*G_{Y}(Z) [/mm] |
N'Abend
Nach Definition gilt ja folgendes:
[mm] G_{X}(Z) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(X=k)z^{k}
[/mm]
[mm] G_{Y}(Z) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(Y=k)z^{k}
[/mm]
[mm] G_{X}(Z)*G_{Y}(Z)= \summe_{k=0}^{\infty} P(X=k)z^{k}*\summe_{k=0}^{\infty} P(Y=k)z^{k}
[/mm]
[mm] G_{X+Y}(Z) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(X+Y=k)z^{k}
[/mm]
Also zu zeigen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(X=k)z^{k}*\summe_{k=0}^{\infty} P(Y=k)z^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(X+Y=k)z^{k}
[/mm]
Ich versuch jetzt mal zu benutzen was ich so aus der Vorlesung habe.
Wir haben auch definiert: (Unter der Bedingung [mm] p_{k}=P(X=k) [/mm] & [mm] p_{k}=P(Y=k))
[/mm]
[mm] G_{X}(Z) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(X=k)z^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} p_{k}z^{k} [/mm] = [mm] p_{0}+p_{1}*z+p_{2}*z^{2}+...
[/mm]
[mm] G_{Y}(Z) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(Y=k)z^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} p_{k}z^{k} [/mm] = [mm] p_{0}+p_{1}*z+p_{2}*z^{2}+...
[/mm]
Jetzt beim Aufschreiben merk ich gerade, dass das mir wahrscheinlich aber gar nichts bringt, weil nichts Sinnvolles beim multiplizieren herauskommt, oder?
Also muss ich einen anderen Weg finden.
Kann mir jemand sagen wie ich [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P(X+Y=k)z^{k} [/mm] umschreiben kann, bzw. was es da so für Regeln gibt?
Wäre für Hilfe echt dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 30.11.2006 | | Autor: | Blefix |
Ich habe jetzt mein Stochastikbuch durchgeschaut und im Internet gesucht nur habe ich leider nichts gefunden was mir weiter hilft.
Ich weiß halt einfach nicht was ich so für Rechenregeln und Möglichkeiten bei den Wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen habe.
Kann mir da wirklich keiner weiter helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Do 30.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Blefix,
ich weiss nicht, *wie* die gesucht hast, aber bei Google
liefern die Stichwoerter
"probabilty generating function" convolution
ungefaehr 11000 Eintraege. Wichtiger Tipp: Die pgf ist [mm] $G(t)=\mbox{E}[t^X]$. [/mm] Nutze die Unabhaengigkeit aus. Sehr heisser Link:
http://www.math.hmc.edu/~krieger/m157genfunctions.pdf
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Do 30.11.2006 | | Autor: | Blefix |
HI Luis,
viele Dank für die Tipps.
Bin mit der englischsprachigen Mathematik noch nicht so vertraut und nicht auf die Idee gekommen "probabilty generating function" convolution einzugeben.
Schönen Abend noch Blefix
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