W'keit auf verschiedenen Wegen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Glücksrad mit $5 $Sektoren,die von $1$ bis $ 10$ durchnummeriert sind,wird $ 100 $ mal gedreht.Die Zufallsvariable $ X $ bezeichne die Anzahl der erhalten $'1'$
$a)$ Bestimmen sie die Verteilung,Erwartungswert und Varianz von $X$
$b)$ Bestimmen sie mit der Tschebyscheff-Ungleichung eine (best mögliche) untere Schranke für die W'keit,dass mindestens $1$ und höchstens $9$ die '1' getroffen wird
$c)$ bestimmen sie die W'keit,dass mindestens $13$ und höchstens $30$ mal die $'1' $ getroffen wird, mittels Normalapprox. mit und ohne Stetigkeitskorrektur.
Bestimmen sie die W#keit aus teil $c)$ exakt |
$a)$
$p= [mm] \frac{1}{10}, [/mm] $da nur einer aus Zehnen gesucht ist und das ist die $1$
$X [mm] \sim B(100,\frac{1}{10})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E[X]=100*\frac{1}{10}= [/mm] 10 , Var(X)= [mm] 10*\frac{9}{10}=9$
[/mm]
$b) $
Tschebyscheff für untere Schranken $ P(|X-E[X]| < [mm] \epsilon)\geq 1-\frac{Var(X)}{\epsilon^2}$
[/mm]
$P( [mm] 1\leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 9) = P( 2<X < 10)$ auf beiden seiten $-E[X] [mm] \Rightarrow [/mm] P( -8<X-E[X] < 0) $ jetzt den betrag$ [mm] \Righarrow [/mm] P(|X-E[X]| < [mm] 0)\geq 1-\frac{9}{0^2} \Rightarrow$ [/mm] größt mögliche untere schranke für die W'keit ist 1 !
c) und d) wollte ich machen wenn das obige richtig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Glücksrad mit [mm]5 [/mm] Sektoren,die von [mm]1[/mm] bis [mm]10[/mm]
> durchnummeriert sind,wird ...... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Erhält jeder Sektor 2 Nummern ??
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 01.02.2015 | | Autor: | PeterPaul |
Das habe ich mich auch gefragt aber es gibt da keine angaben zu im text
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> Das habe ich mich auch gefragt aber es gibt da keine
> angaben zu im text
Naja, es sollen wohl eben 10 Sektoren sein. Ich
vermute da beim Aufgabensteller einen Fehler
der bekannten Sorte:
Absicht: frühere ähnliche Aufgabe durch Copy, Paste & Modify
auf eine abgeänderte Situation anpassen ...
Realität: Copy & Paste erledigt, Modify vergessen ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
Hallöchen,
Teil a. Passt, falls man davon ausgeht, dass man es mit 10 Feldern zu tun hat.
Aber Zuerst ein wenig Klugscheißerei (wenn ich mich irre haltet mich bitte auf :D ):
$ P( [mm] 1\leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 9) = P( 2<X < 10) $ kann so nicht ganz hinhauen, ich denke du meintest $ P( [mm] 1\leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 9) = P( 0<X < 10) $, oder?
damit ergibt sich für $ -E[X] [mm] \Rightarrow [/mm] P( -10<X-E[X] < 0) $.
Deinen nächsten Schritt versteh ich nicht ganz, vor allem kann |X-E[X]| niemals < 0 und somit das Maß davon niemals 1 sein, zumal du hier irgendwie durch [mm] $\epsilon [/mm] = 0$ teilst, was in der Tschebyscheff-Ungleichung jedoch (sinnigerweise) eindeutig ausgeschlossen ist.
Ich gehe mal davon aus, dass für diese Aufgabe geplant war, dass es fünf Felder sind, die mit 1-5 durchnummeriert sind, anderenfalls gäb es bei der Geschichte keine vernünftige Aussage:
Wir suchen eine untere Schranke für $P( [mm] 1\leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 9)$ Ich werde nun etwas unsauber argumentieren, was aber der eigentlichen aussage keinen Abbruch tut:
Wir betrachten mal $P(|X-E[X]| < 10)$ was den Bereich abdeckt, dass $ X $ mindestens 1 ist und $P(|X-E[X]| [mm] \ge [/mm] 1)$, was den Bereich abdeckt, dass X höchstens 9 sein sollte. mit Tschebyscheff ergibt sich daraus:
$P(|X-E[X]| < 10) [mm] \ge 1-\frac{9}{100}$
[/mm]
$P(|X-E[X]| [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \le \frac{9}{1} [/mm] = 9$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] -P(|X-E[X]| [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \ge [/mm] -9$
Es gilt $P(|X-E[X]| < 10) - P(|X-E[X]| [mm] \ge [/mm] 1) = P(|X-E[X]| < 10 [mm] \wedge [/mm] |X-E[X]| [mm] \ge [/mm] 1) = P(1 < |X-E[X]| < 10)$ und $1 < |X-E[X]| < 10$ bedeutet gerade, dass $ X $ entweder zwischen 1 und 9 oder zwischen 11 und 19 liegt.
Jedoch gilt auch: $P(|X-E[X]| < 10) - P(|X-E[X]| [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \ge 1-\frac{9}{100} [/mm] - 9$
Also ist $ P(1 < |X-E[X]| < 10) [mm] \ge [/mm] -8 [mm] \frac{9}{100}$
[/mm]
Hm, da wäre ich jetzt irgendwie nie drauf gekommen... :O
Frag am besten nochmal die person, welche die Aufgabe gestellt hat, was sie genau meinte, aber ich denke das ist es nicht :P
Vllt. hab ich mich aber auch massiv verrechnet :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Mo 02.02.2015 | | Autor: | PeterPaul |
Jeder fand die aufgabe weird.weil wir hatten sonst immer auf gaben wo nachdem subtrahieren des erwartungswert die obere und untere grenze symmetrisch war und man so ganz einfach die grenzrn bekommen konnte:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:03 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
dafür ist Tschebyscheff ja eigentlich auch gedacht :D
Ich hoffe ich konnte tortzdem weiterhelfen :)
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