W'keit mit 2 Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 27.09.2011 | | Autor: | eichi |
| Aufgabe | Seien X und Y unabhängig und exponential-verteilt mit Parametern λ beziehungsweise μ. Berechne P (X > Y ).
Hinweis: P ((X, Y ) ∈ A) = [mm] \integral{ f (x, y) dx dy}, [/mm] wobei f die gemeinsame Dichte von X und Y ist. |
Hallo, ich hänge gerade an dieser Aufgabe und mir ist nicht ganz klar, wie ich weiter rechnen muss.
(Bei mir sei [mm] \alpha [/mm] = λ)
Aktuell habe ich mir Folgendes überlegt:
$ P(X > Y) = P(Y=k, X>k) $ (passt das?)
sowie Dichte: [mm] f_{\alpha}(x)=\begin{cases} \alpha * e^{-\alpha*x}, & \mbox{für } x >0 \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases} [/mm] von Exponentialverteilung. Brauch ich die überhaupt so direkt?
Jetzt muss ich die Dichte für 2 Variablen ermitteln.
Die Verteilungsfunktion ist ja $ f(x)= [mm] 1-e^{-\alpha * x} [/mm] $
jetzt würde ich das so erweitern, dass $ f(x,y) = [mm] 1-e^{-\alpha *x} [/mm] + [mm] 1-e^{-\alpha *y} [/mm] $ und das dann für die Dichte einmal nach x und einmal nach y integrieren, wie der Hinweis in der Aufgabe mir sagt.
Aber ich bin mit eben relativ unsicher, ob das alles Sinn macht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Di 27.09.2011 | | Autor: | Fry |
Hey eichi,
Wenn zwei Zufallsvariabeln [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] unabhängig sind, so ergibt sich die gemeinsame [mm]\lambda^2[/mm]-Dichte [mm]f(x,y)[/mm] von [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] einfach aus dem Produkt der einzelnen [mm]\lambda[/mm]-Dichten [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(y)[/mm] von [mm]X[/mm] bzw [mm]Y[/mm].
Denn: [mm]P^{(X,Y)}(A)=(P^{X}\otimes P^{Y})(A)[/mm] wegen der Unabhängigkeit von [mm]X,Y[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
$(P^{X}\otimes P^{Y})(A)=\int_A d(P^{X}\otimes P^{Y})
=\int_\IR\left(\int_\IR 1_A(x,y)P^{X}(dx)\right)P^{Y}(dy)
=\int_\IR\left(\int_\IR 1_A(x,y)f(x)\lambda(dx)\right)g(y)\lambda(dy)
=\int_A f(x)g(y)\lambda^2(d(x,y))$
mithilfe zweifacher Anwendung des Satzes von Fubini. Definition der gemeinsamen Dichte liefert $f(x,y)=f(x)*g(y)\square$.
Mit der gemeinsamen Dichte lässt dann die gesuchte Wkeit berechnen:
$P(X>Y)=\int_{\{X>Y\}}dP=\int_{\{(x,y)\in\IR^2, x>y\}}P^{(X,Y)}d(x,y)}=\int_{\{x>y\}}f(x,y)\lambda(d(x,y))$
(Trafo-Satz bei 2.Gleichheitszeichen)
Viele Grüße
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 27.09.2011 | | Autor: | eichi |
Wow, danke für die ausfürliche Antwort, ich werde es morgen mal versuchen nachzuvollziehen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Do 29.09.2011 | | Autor: | eichi |
Hab ich das dann soweit richtig gemacht:
Dichte $f(x)= [mm] \alpha [/mm] * [mm] e^{-\alpha*x}$ [/mm] und
Dichte $f(y)= [mm] \alpha [/mm] * [mm] e^{-\alpha*y}$
[/mm]
Gemeinsame Dichte $f(x,y)= [mm] \alpha [/mm] * [mm] e^{-\alpha*x} [/mm] * [mm] \alpha [/mm] * [mm] e^{-\alpha*x} [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] * [mm] e^{-\alpha * x} [/mm] * [mm] e^{-\alpha * y} [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] * [mm] e^{\alpha*(x + y)} [/mm] $
Und darüber nun nach y und dann x integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Fr 30.09.2011 | | Autor: | Fry |
> Hab ich das dann soweit richtig gemacht:
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> Dichte [mm]f(x)= \alpha * e^{-\alpha*x}[/mm] und
> Dichte [mm]f(y)= \alpha * e^{-\alpha*y}[/mm]
>
>
> Gemeinsame Dichte [mm]f(x,y)= \alpha * e^{-\alpha*x} * \alpha * e^{-\alpha*x} = \alpha^2 * e^{-\alpha * x} * e^{-\alpha * y} = \alpha^2 * e^{\alpha*(x + y)}[/mm]
>
Es fehlen noch die Indikatorfunktionen (die Dichte ist ja für x<0 =0)
[mm] f(x,y)=\alpha^2*e^{-\alpha(x+y)}*1_{[0,\infty)}(x)*1_{[0,\infty)}(y)
[/mm]
> Und darüber nun nach y und dann x integrieren?
Nach dem Satz von Fubini ist das egal, du musst allerdings bei den Integrationsgrenzen nun aufpassen.x,y sollen größer 0 sein,allerdings muss zusätzlich auch x>y gelten. Also:
[mm] $P(X>Y)=\alpha^2*\int_{[0,\infty)}\left(\int_{(y,\infty)}e^{-\alpha(x+y)}\lambda(dx)\right)\lambda(dy)$
[/mm]
Alternativ vertauscht du die Integrale (und integrierst also erst nach y)
oder du rechnest es so aus:
[mm] $\alpha^2*\int_{[0,x)}\left(\int_{[0,\infty)}e^{-\alpha(x+y)}\lambda(dx)\right)\lambda(dy)$
[/mm]
LG
Fry
Müsste immer dasselbe rauskommen.
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