Waagerechte Tangenten < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 03.02.2010 | | Autor: | zitrone |
Hallo,
ich hab zu dieser Aufgabe f(x)= [mm] x^3 [/mm] - ax folgenden Arbeitsauftrag bekommen: welche Werte a [mm] \in \IR [/mm] hat der Graph mehrere, eine oder keine waagerechte Tangente?Beschreibe den typischen Verlauf des Graphen!
ich hab mir das jetzt mal so gedacht:
um die waagerechten Tangenten zu bestimmen, muss ich die Extremwerte kennen. Sprich die erste Ableitung gleich Null setzen und das Ergebnis in die 2te Ableitung einsetzen:
f(x)= [mm] x^3 [/mm] - ax
f'(x)= [mm] 3x^2 [/mm] - a
f''(x)= 6x
[mm] 3x^2 [/mm] - a= 0
[mm] 3x^2 [/mm] = a| :3
[mm] x^2 [/mm] =
x [mm] =\wurzel{\bruch{a}{3}}
[/mm]
f''(x)= [mm] 6*\wurzel{\bruch{a}{3}} [/mm] ist wohl groesser als 0 und sommit ein Tiefpunkt. Wuerde das so schon reichen?
Kann mir da bitte jemand helfen?
lg zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 03.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich hab zu dieser Aufgabe f(x)= [mm]x^3[/mm] - ax folgenden
> Arbeitsauftrag bekommen: welche Werte a hat der Graph
> mehrere, eine oder keine waagerechte Tangente?Beschreibe
> den typischen Verlauf des Graphen!
>
> ich hab mir das jetzt mal so gedacht:
> um die waagerechten Tangenten zu bestimmen, muss ich die
> Extremwerte kennen. Sprich die erste Ableitung gleich Null
> setzen und das Ergebnis in die 2te Ableitung einsetzen:
Nein, das ist zu eng gefasst.
Die Funktion [mm] y=x^3 [/mm] hat an der Stelle x=0 den Anstieg 0 und somit eine waagerechte Tangente, auch wenn dort kein Extremwert vorliegt.
Lass die Einschränkung mit der zweiten Ableitung und suche alle Stellen, deren erste Ableitung Null ist.
>
> f(x)= [mm]x^3[/mm] - ax
> f'(x)= [mm]3x^2[/mm] - a
> f''(x)= 6x
>
> [mm]3x^2[/mm] - a= 0
> [mm]3x^2[/mm] = a| :3
> [mm]x^2[/mm] =
> x [mm]=\wurzel{\bruch{a}{3}}[/mm]
Die Gleichung [mm] x^2=\bruch{a}{3} [/mm] hat (für geeignete a) ZWEI Lösungen.
>
> f''(x)= [mm]6*\wurzel{\bruch{a}{3}}[/mm] ist wohl groesser als 0 und
> sommit ein Tiefpunkt. Wuerde das so schon reichen?
Abgesehen von den Ungenauigkeiten ist die eigentliche Frage nicht beantwortet.
Für WELCHE Werte von a kann man gar keine Lösungen ausrechnen?
Wann gibt es gleich zwei verschiedene Lösungen?
Wann nur eine?
Gruß Abakus
> Kann mir da bitte jemand helfen?
>
>
> lg zitrone
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 03.02.2010 | | Autor: | zitrone |
Hallo,
vielen dank für die Hilfe!
hm, also wenn a einen negativen Wert einnehme würde, gebe es gar keine Lösung(wegen der Wurzel). Nimmt a einen positiven Wert ein, so hat a zwei Lösungen.
Nullstellen:
Ausgangsfunktion:
[mm] x^3 [/mm] - ax = 0 [mm] x_{1}= [/mm] 0
[mm] x(x^2-ax) [/mm] = 0
[mm] x_{2}= [/mm] 0
x(x-ax) = 0 [mm] x_{3}= [/mm] 0
x(1-a) = 0
Also hab ich eine dreifach Nullstelle!?
1 Ableitung:
[mm] 3x^2 [/mm] - a= 0
> [mm] 3x^2 [/mm] $ = a| :3
> [mm] x^2 [/mm] =
> x [mm] =\wurzel{\bruch{a}{3}} [/mm]
x1 = - [mm] \wurzel{\bruch{a}{3}} [/mm]
so richtig?
lg zitrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mi 03.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> vielen dank für die Hilfe!
>
> hm, also wenn a einen negativen Wert einnehme würde, gebe
> es gar keine Lösung(wegen der Wurzel).
Richtig.
> Nimmt a einen
> positiven Wert ein, so hat a zwei Lösungen.
Richtig.
>
> Nullstellen:
> Ausgangsfunktion:
> [mm]x^3[/mm] - ax = 0 [mm]x_{1}=[/mm] 0
> [mm]x(x^2-ax)[/mm] = 0
Das muss heißen [mm] x(x^2-a)=0.
[/mm]
> [mm]x_{2}=[/mm] 0
> x(x-ax) = 0 [mm]x_{3}=[/mm] 0
>
> x(1-a) = 0
>
> Also hab ich eine dreifach Nullstelle!?
Waren denn die Nullstellen der Funktion überhaupt gefragt?
>
> 1 Ableitung:
>
> [mm]3x^2[/mm] - a= 0
> > [mm]3x^2[/mm] $ = a| :3
> > [mm]x^2[/mm] =
> > x [mm]=\wurzel{\bruch{a}{3}}[/mm]
>
> x1 = - [mm]\wurzel{\bruch{a}{3}}[/mm]
>
> so richtig?
Konzentriere dich aufs wesentliche.
Du hast angegeben, wann es keine und wann es zwei Lösungen gibt.
Was ist mit genau einer Lösung?
Gruß Abakus
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>
> lg zitrone
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