Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 So 20.10.2013 | | Autor: | lukky18 |
Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit
f(t)= 1000 - 800e^-0,001t
a. in einem anderen Behälter mit einem Zufluss und einem Abfluss befinden sich zu Beginn ebenfalls 200 l Flüssigkeit. Einerseits fliessen prü Minute 10 Liter zu, andererseits beträgt die momentane Abflussrate 1 % des jeweiligen Inhalts pro Minute. Dieser Vorgang wird durch die Differenzialgleichung
B´(t) = a-b B(t) beschrieben.
Geben Sie a und b an. Zeigen Sie dass f eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist.
Lösung:
B´(t) = 10-0,01 B(t)
f ist eine Lösung der Differenzialgleichung
Mein Problem ist bei folgender Teilaufgabe :
b. Der Vorgang in a) wird nun so geändert dass pro Minute 12 Liter zufliessen und die momentane Abflussrate 2 % des Inhalts pro Minute beträgt. Die anfängliche Flüssigkeitsmenge ist wiederum 200 Liter.
Ermitteln Sie einen Funktionsterm, der diesen Vorgang beschreibt.
Lösung: Ich kann den Funktionsterm nicht aufstellen
Wie hoch ist die Schranke?
|
|
| |
|
> Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die
> enthaltene Flüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt t wird
> beschrieben durch die Funktion f mit
> f(t)= 1000 - 800e^-0,001t
>
> a.) in einem anderen Behälter mit einem Zufluss und einem
> Abfluss befinden sich zu Beginn ebenfalls 200 l
> Flüssigkeit. Einerseits fliessen pro Minute 10 Liter zu,
> andererseits beträgt die momentane Abflussrate 1 % des
> jeweiligen Inhalts pro Minute. Dieser Vorgang wird durch
> die Differenzialgleichung
> B´(t) = a-b B(t) beschrieben.
> Geben Sie a und b an. Zeigen Sie dass f eine Lösung
> dieser Differenzialgleichung ist.
>
> Lösung:
> B´(t) = 10-0,01 B(t)
>
> f ist eine Lösung der Differenzialgleichung
>
> Mein Problem ist bei folgender Teilaufgabe :
> b.) Der Vorgang in a) wird nun so geändert dass pro Minute
> 12 Liter zufliessen und die momentane Abflussrate 2 % des
> Inhalts pro Minute beträgt. Die anfängliche
> Flüssigkeitsmenge ist wiederum 200 Liter.
> Ermitteln Sie einen Funktionsterm, der diesen Vorgang
> beschreibt.
>
> Lösung: Ich kann den Funktionsterm nicht aufstellen
> Wie hoch ist die Schranke?
Hallo lukky18,
die Aufgabe b.) ist ja eigentlich gleich wie a.) , nur
mit anderen Zahlen. Also ändert sich die DGL zu:
$\ B'(t)\ =\ 12-0.02*B(t)$
Auch die Lösung wird prinzipiell analog sein, also:
$\ B(t)\ =\ [mm] B_0 [/mm] - A * [mm] e^{-K*t}$
[/mm]
Es gilt nur noch, die Werte der 3 Konstanten A , [mm] B_0 [/mm] , K
aus den 3 vorliegenden Werten (Anfangsinhalt, Zufluss-
und Abflussrate) zu berechnen.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:59 So 20.10.2013 | | Autor: | lukky18 |
d.h 12 - 0,02(1000-800e^-0,01t)=
12-20+16e^-0,01t
=-8+16e^-0,01t
und die Lösung ist 600-400e^-0,02t
Was mache ich falsch
|
|
|
| |
|
> d.h 12 - 0,02(1000-800e^-0,01t)=
> 12-20+16e^-0,01t
> =-8+16e^-0,01t ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Erkläre doch bitte, was du hier rechnest !
Ich verstehe nur [mm] $\text{\scriptsize{Bahnhof}}$ [/mm] 
> und die Lösung ist 600-400e^-0,02t
> Was mache ich falsch
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 20.10.2013 | | Autor: | lukky18 |
Sie haben doch gesagt, dass es gleich geht wie in a
deshalb setze ich die Werte ein
12-0,02(1000-800e^-0,01t)
|
|
|
| |
|
> Sie haben doch gesagt, dass es gleich geht wie in a
> deshalb setze ich die Werte ein
> 12-0,02(1000-800e^-0,01t)
Aber doch nicht die Zahlenwerte aus der alten Aufgabe
weiter benützen, sondern Einsetzen in die Formel(n) und
dann das entstehende Gleichungssystem für die 3 Konstanten
auflösen !
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 20.10.2013 | | Autor: | lukky18 |
aber das sind doch die neuen Werte, die ich genommen habe.
Ich weiss schon nicht wie hoch die Schranke S ist .
|
|
|
| |
|
> aber das sind doch die neuen Werte, die ich genommen habe.
Die Zahlenwerte 1000 und 800, die du da immer noch
hast, stammen doch aus der alten Lösung f , welche hier
nichts mehr zu suchen hat.
> Ich weiss schon nicht wie hoch die Schranke S ist .
Was genau soll mit "Schranke" eigentlich gemeint sein ?
Aus den genannten Gründen können wir es mit dem
Ansatz
(0.) $ \ B(t)\ =\ C - A [mm] \cdot{} e^{-K\cdot{}t} [/mm] $
versuchen. Darin stecken 3 Parameter C, A, K, deren Werte
noch zu bestimmen sind.
(Ich habe hier ein "C" gesetzt anstatt [mm] "B_0" [/mm] wie vorher,
um Verwechslung mit B(0) zu vermeiden)
Wir haben folgende Bedingungen zu erfüllen:
(1.) Die Ableitungsfunktion B' muss für alle t die
Gleichung
$\ B'(t)\ =\ 12-0.02* B(t)$
erfüllen.
(2.) Es muss $\ B(0)\ =\ [mm] C\,-\,A \cdot{} e^{-K\cdot{}0}\ [/mm] =\ 200 $ sein.
Leite also mal die Ansatzgleichung (0.) nach t ab. Setze
dann in Gleichung (1.) B(t) und B'(t) nach Ansatz ein. Aus
dieser einen Gleichung ergeben sich zwei Gleichungen
für K und für [mm] B_0 [/mm] ! Dies ist so, weil diese Gleichung (1.)
für alle t erfüllt sein muss .
Benütze dann noch die Gleichung (2.), um auch die
dritte Konstante festzulegen.
LG , Al-Chw.
|
|
|
|
