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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Vannie |
| Aufgabe | Die Höhenzuwachsrate einer Pflanze wird näherungsweise durch die Funktion h mit
h(t) = [mm] 0,48*t+e^{-,64*t}
[/mm]
beschrieben. (t in Monaten seit der Einpflanzung, h(t) in Meter pro Monat)
a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Zuwachsrate abnimmt. Wie groß ist die mittlere Zuwachsrate in den ersten zwei Monaten?
b) Begründen Sie, dass die Funktion H mit
H(t) = [mm] -\bruch{3}{64}*(25 [/mm] + [mm] 16t)*e^{-,64*t} [/mm]
eine Stammfunktion von h ist.
Die Pflanze war bei der Einpflanzung 0,2 m hoch.
Welche Höhe hat sie nach 4 Monaten?
Die Pflanze gilt als ausgewachsen, wenn nach diesem Modell der gesamte in der Folgezeit noch zu erwartende Zuwachs an Höhe wneiger als 0,2 m beträgt. Wnan ist dies der Fall?
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Hallo,
ich arbeite grade im Stark - Buch Übungsaufgaben fürs Abi durch. Schon an mehreren Stellen bin ich über Aufgabenteile gestolpert, welche sich mit Wachstum/Zerfall beschäftigten.
An und für sich komme ich mit dem ganzen Thema gut klar, nur eines hat mich komplett verwirrt. Ich weiß nicht, ob ich da einfach irgendwie auf dem Schlauch stehe oder was los ist und deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
Oftmals ist in den Aufgaben die Änderungsrate gegeben, sprich die Ableitung der Wachstumsfunktion.
Meine Beispielaufgabe habe ich oben reingestellt.
Die a) war kein Problem. Im ersten Teil überprüft man, zu welchen Zeitpunkt h'(t) < 0, sprich man untersucht, ab wann h(t) streng monoton fällt.
Die mittlere Zuwachsrate war auch kein Problem ..
[mm] \overline{Z} [/mm] = 0,5 * [mm] \integral_{0}^{2}{h(x) dx}
[/mm]
Im b) - Teil ist aber genau das aufgetreten, was schon bei mehreren Aufgaben für Verwirrung gesorgt hat! Die Begründung, dass H(t) eine Stammfunktion ist, war ebenfalls kein Problem, aber der Rest leider schon.
Ich habe, um die Höhe nach 4 Monaten zu bestimmen, folgendes ausgerechnet:
W(4) = 0,2 + H(4)
allerdings war das Ergebnis dann negativ, deshalb habe ich folgendes überlegt.
H(t) ist ja nur eine Stammfunktion.
Mein nächster Ansatz war dann:
[mm] H(t)_{neu} [/mm] = H(t) + c
mit der Bedingung H(0) = 0,2 bin ich dann auf c= [mm] \bruch{439}{320} [/mm] gekommen.
Ist natürlich kein sehr überzeugender Wert, dennoch habe ich dann folgendes ausgerechnet:
[mm] H(4)_{neu} [/mm] = W(4) = 1,25
Ich ahne schon selbst, dass dieser Weg komplett falsch ist, aber den Weg, den das Buch vorschlägt, verstehe ich einfach nicht.
Leider stimmte das Ergebnis auch nicht mit dem des Buches überein und genau jetzt kommt mein Problem: Das Buch hat es wie folgt ausgerechnet:
Die Wachstumsfunktion ist W(t) = 0,2 + [mm] \integral_{0}^{t}{h(x) dx}
[/mm]
Was ich daran absolut nicht verstehe: h(x) ist doch die Änderungsrate und es ist aber doch die Höhe des Baumes gesucht. So wie ich es bisher immer verstanden habe, muss ich also auch die Stammfunktion von h(t) benutzen, um die Höhe auszurechnen.
Wieso kann man die Stammfunktion (= Wachstumsfunktion) durch Integrieren der Ableitung (= Änderungsrate) bekommen bzw. "ersetzen"? Darüber bin ich schon sooft gestolpert und einige Male kam auf "meinem Rechenweg" auch das gleiche Ergebnis heraus, wie durch "Integrieren der Stammfunktion".
Ich glaube, ich stehe da irgendwie total auf dem Schlauch, aber ich verstehe das einfach nicht.
So wie ich es bisher verstanden habe, nutzt man Integrale bei dieser Art der Aufgaben nur, um einen Mittelwert (entweder der Änderungsrate oder der Wachstumsfunktion) zu bekommen, oder nicht?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das einer erklärn könnte - ich bin schon zu oft darüber gestolpert, als dass ich es einfach so hinnehmen möchte oder es dabei belassen kann :).
Frohe Ostern und viele Grüße, Vannie
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Rene |
Die Funktion h(t) beschreibt die Geschwindigkeit des Wachstums. H(t) beschreibt hingegen das Wachstum (die Größe) der Pflanze.
Um das Wachstum bestimmen zu können musst die Stammfunktion mit der Anfangsbedingung [mm] H(0) = 0,2 [/mm] bestimmen.
Zunächst mal musst du das unbestimmte Integral [mm]\integral{h(t)}dt[/mm] lösen. Es ergibt sich dann
[mm] H(t) = \integral{h(t)dt} = 0,24t^{2}-\frac{25}{16}e^{-0,64t} + c [/mm]
Da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, darf die Integrationskonstante c nihct vergessen werden. Als nächstes kannst du die Integrationskonstante mit Hilfe der Anfangsbedingung bestimmen.
[mm] H(0) = 0,2 = 0,24*t^{2} - \frac{25}{16}*e^{-0,64*0} + c[/mm]
[mm]\Rightarrow c = 0,2 + \frac{25}{16} [/mm]
Somit ergibt sich nun folgende Funktion, welche das Wachstm beschreibt.
[mm] W(t)=H(t)=\underbrace{0,24*t^{2}- \frac{25}{16}*e^{-0,64*t}+\frac{25}{16}}_{=\integral^{t}_{0}{h(t)dt}}+0,2 [/mm]
Das bestimmte Integral [mm]\integral^{t}_{0}{h(t)dt}[/mm] beschreibt hierbei das reine Wachstum der Pflanze in 4 Monaten.
Zur Probe:
[mm]\integral^{t}_{0}{h(t)dt} = \left[ 0,24t^{2}-\frac{25}{16}e^{-0,64t}\right] ^{t}_{0} = \left( 0,24t^{2}-\frac{25}{16}e^{-0,64t}\right) - \left( 0,24*0^{2}-\frac{25}{16}e^{-0,64*0}\right) = 0,24t^{2}-\frac{25}{16}e^{-0,64t} + \frac{25}{16} [/mm]
Vereinfacht kann man nun [mm]H(t)[/mm] bzw, [mm]W(t)[/mm] mit der Anfangsbedingung [mm] H(0) = 0,2[/mm] wie folgt schreiben:
[mm]W(t) = H(t) = 0,2 + \integral^{t}_{0}{h(t)dt}[/mm]
Mfg
René
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Vannie |
Hallo René,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Doch leider ist mir das immer noch unklar.
Mein "Hauptproblem" ist die Tatsache, dass das Buch total oft die "Geschwindigkeit", also die Ableitung integriert, um die "Größe" der Pflanze zu bestimmen bzw. die Wachstumsfunktion zu erhalten. Das geht mir einfach nicht in den Kopf!
Vielleicht kann mir das ja jemand "nicht-mathematisch", d.h. ohne auf meine Beispielaufgabe zurückzugreifen und ganz theoretisch erklären? Wieso darf bzw. muss ich die Ableitung integrieren, um die Stammfunktion, d.h. die Wachstumsfunktion zu erhalten? Wieso kann ich da nicht einfach die Stammfunktion auf ganz normale Art und Weise bilden? Ich verzweifel da fast dran, weil ich es einfach nicht kapieren möchte...
Viele Grüße, Vannie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Do 12.04.2007 | | Autor: | Rene |
Das ist ein rein mathematischer bzw physikalischer Zusammenhang.
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges (bzw. der Größe) nach der Zeit. Quasi der Anstieg der Funktion in einem Punkt x. Demzufolge ist der Weg (bzw. die Größe) das Integral der Geschwindigkeit bezogen auf die Zeit. (Bsp. Bewegungsgesetze aus der Physik)
Ich weiss nicht genau was du mit "normale Art und Weise" meinst. Ich schätze mal ihr habt immer Stammfunktionen gebildet und die Integrationskonstante "c" vernachlässigt. In diesem Fall war bei euch die Integrationskonstante einfach 0.
Hoffe hat Dir geholfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 12.04.2007 | | Autor: | Vannie |
Hallo René,
okay, das habe ich bisher noch nie aus der physikalischen Sicht gesehen.
Wir haben c bestimmt mit gegebenen Bedingungen (z.B. mit einem Wert zu einem bestimmten Zeitpunkt, der gegeben war). Ist das auch ok?
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Hallo Vannie!
> Wir haben c bestimmt mit gegebenen Bedingungen (z.B. mit
> einem Wert zu einem bestimmten Zeitpunkt, der gegeben war).
> Ist das auch ok?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, ist es ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Do 12.04.2007 | | Autor: | Rene |
Ja, das ist so machbar. Bei deiner Beispielaufgabe war es halt die Bedingung
H(0) = 0.2
Hoffe es ist dir jetzt alles ein bisschen verständlicher geworden!
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