Wachstumsberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Di 13.05.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Im Jahre 2000 lebten in Nigeria ca. 123 Millionen Menschen mit 2,8 % jähr-
lichem Zuwachs. In wie vielen Jahren werden es erstmals mehr als 200 Mil-
lionen sein? |
Meine Schwester hat mich hier um Hilfe gebeten und am Ende hatten wir zwei Lösungwege.
1. f(x) = [mm] 123*e^{0,028*x} [/mm] man kommt auf 17,36 Jahre
2. f(x) = [mm] 123*1,028^{x} [/mm] man kommt auf 17,6 Jahre
Ich weiß nicht, wie ich ihr das jetzt erklären soll (-:
1. beschreibt ja einen natürlichen Wachstumsprozess
2. einen stetigen Wachstumsprzess
soweit ich weiß.
Was ist jetzt "richtiger" und warum??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Di 13.05.2008 | | Autor: | Kroni |
Tag,
> Im Jahre 2000 lebten in Nigeria ca. 123 Millionen Menschen
> mit 2,8 % jähr-
> lichem Zuwachs. In wie vielen Jahren werden es erstmals
> mehr als 200 Mil-
> lionen sein?
> Meine Schwester hat mich hier um Hilfe gebeten und am Ende
> hatten wir zwei Lösungwege.
>
> 1. f(x) = [mm]123*e^{0,028*x}[/mm] man kommt auf 17,36 Jahre
>
> 2. f(x) = [mm]123*1,028^{x}[/mm] man kommt auf 17,6 Jahre
>
> Ich weiß nicht, wie ich ihr das jetzt erklären soll (-:
>
> 1. beschreibt ja einen natürlichen Wachstumsprozess
> 2. einen stetigen Wachstumsprzess
>
> soweit ich weiß.
>
> Was ist jetzt "richtiger" und warum??
Nun, schauen wir uns das doch nochmal an:
Rein Intuitiv ohne e-Fkt. sagt man, dass die zweite Lösung richtig ist. Im ersten Jahr hat man [mm] $N_0*1.028$ [/mm] Einwohner. Im zweiten Jahr [mm] $N_0*1.028*1.028$ [/mm] Einwohner etc. Das macht dann richtigerweise
[mm] $N(t)=N_0*1.028^t$, [/mm] wobei t in Jahren und [mm] $N_0$ [/mm] die [mm] $123*10^6$ [/mm] Einwohner sind.
Jetzt können wir diese Gleichung in die e-Funktion transformieren:
Wir wissen, dass [mm] $e^{ln(z)}=z$ [/mm] gilt. Also können wir die [mm] $1.028^t$ [/mm] umschreiben in [mm] $e^{ln(1.028^t)}$ [/mm] Jetzt Logarithmenregel anwenden, nämlich dass [mm] $ln(a^b)=bln(a)$ [/mm] gilt, dann steht dort:
[mm] $e^{ln(1.028)*t}$
[/mm]
Jetzt sehen wir auch den Fehler, der in Gleichung 1 gemacht wurde: Es fehlt der nat. Logarithmus und die 1+ in der E-Funktion.
Dass sich die Ergebnisse nur so wenig voneinander unterscheiden liegt daran, weil [mm] $ln(1.028)-0.028\approx-0.00038$, [/mm] d.h. der Fehler ist relativ gering, deshalb liegen die Ergebnisse so dicht beieinander.
LG
Kroni
|
|
|
|
