Wachstumsverhalten v. Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:32 Sa 18.01.2014 | | Autor: | la_guitarra |
| Aufgabe | Sortieren sie die Funktionen
[mm] f_1(x) [/mm] = [mm] x^{lnx}
[/mm]
[mm] f_2(x) [/mm] = [mm] e^{xlnx}
[/mm]
[mm] f_3(x) [/mm] = [mm] x^x
[/mm]
[mm] f_4(x) [/mm] = [mm] 3^x
[/mm]
[mm] f_5(x) [/mm] = [mm] x^3
[/mm]
[mm] f_6(x) [/mm] = [mm] e^x [/mm] ln x
nach dem Wachstum für x [mm] \to \infty [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hab die Frage nirgendwo sonst gestellt.
Ich braüchte Ideen, wie ich an die Aufgabe rangehen kann.
Der Prof hat gemeint, man solle l'Hospital anwenden, allerdings habe ich das nicht verstanden und stehe einfach komplett vorm Berg.
Ich hab' mit 'nwm Kommilitonen gesprochen und er meinte, man müsse einfach zeigen, dass zB [mm] f_1 [/mm] in [mm] O(f_2) [/mm] liegt.
Vielleicht gibt mir jemand einen Tipp oder Hinweis, wie ich an sowas rangehe und ich mache dann den Rest alleine und ihr kuckt nochmal drüber?
Gruß,
Gitarre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Prof. meint, dass wenn z.B. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f_i(x)}{f_j(x)} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist, dann wächst [mm] f_i [/mm] schneller als [mm] f_j.
[/mm]
Die Grenzwerte kannst du mit L'Hospital berechnen.
Gruß Sax.
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Okay. Ich habe dann eine Frage zu l'Hospital:
sehe ich das richtig, dass man "einfach" sagt:
Wenn der Grenzwert für den Quotient aus den Ableitungen der Funktionen existiert, dann existiert auch der Grenzwert für den Quotient aus den Funktionen?
Dann habe ich eine generelle Frage zum Ableiten:
Wenn ich jetzt ln ableiten will, muss ich dann über dfx / dx gehen, oder kann man das einfach mit Ableitungsregeln (wie in der Schule) machen?
Wie sind denn diese Regeln definiert? Bei uns im Skript glänzen sie durch Abwesenheit. [mm] e^x [/mm] ist glaub' ich abgeleitet [mm] e^x [/mm] .
Aber ln(x)? Keine Ahnung? Wo kann man denn dazu Hinweise finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Sa 18.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Okay. Ich habe dann eine Frage zu l'Hospital:
> sehe ich das richtig, dass man "einfach" sagt:
> Wenn der Grenzwert für den Quotient aus den Ableitungen
> der Funktionen existiert, dann existiert auch der Grenzwert
> für den Quotient aus den Funktionen?
Da fehlt die Vorraussetzung, die das Anwenden des Satzes überhaupt ermöglicht!
> Dann habe ich eine generelle Frage zum Ableiten:
> Wenn ich jetzt ln ableiten will, muss ich dann über dfx /
> dx gehen, oder kann man das einfach mit Ableitungsregeln
> (wie in der Schule) machen?
Da sind sehr viele formale Fehler!
Wir setzen:
[mm] f:(0,\infty)\rightarrow\IR^{+}, x\rightarrow \ln(x)
[/mm]
- oder kurz: [mm] f(x)=\ln(x)
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f=f'(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
Die Ableitungsregeln, so wie du sie kennst, werden in der Regeln über den Differenzenquotienten beweisen,
sodass du "wie gewohnt" differenzieren kannst.
> Wie sind denn diese Regeln definiert? Bei uns im Skript
> glänzen sie durch Abwesenheit. [mm]e^x[/mm] ist glaub' ich
> abgeleitet [mm]e^x[/mm] .
> Aber ln(x)? Keine Ahnung? Wo kann man denn dazu Hinweise
> finden?
Ich sehe gerade, dass du Informatik studierst, deshalb schreibe ich folgendes:
Es gibt viele Beweise, die folgendes zeigen:
[mm] \ln'(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
Der Ingenieur würde es wie folgt zeigen:
Es gilt:
$x=x$
[mm] \Rightarrow e^{\ln(x)}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow (e^{\ln(x)})'=x'
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{\ln(x)}*\ln'(x)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln'(x)=\frac{1}{e^{\ln(x)}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln'(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
Der Mathematiker würde es wohl mit dem Differenzenquotient zeigen.
Was der Informatiker machen würde weiß ich nicht 
Viele Wege führen nach Rom!
Ansonsten kannst du dir ![[]](/images/popup.gif) hier die Ableitungsregeln anschauen.
Gruß
DieAcht
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Vielen Dank erstmal,
ich habe mich dann mal rangewagt, und folgendes fabriziert:
Idee durch Raten:
[mm] f_4
Wobei < := [mm] \in [/mm] O von .
zz. [mm] f_4 \in [/mm] O [mm] (f_5)
[/mm]
[mm] \limes_{x \to \infty} f_4(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x \to \infty} f_5(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
also ist l'Hospital anwendbar.
[mm] \limes_{x \to \infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{x*3}{3*x} [/mm] (WAT?) = [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Stimmt das so? Vor allem: [mm] \infty [/mm] durch [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Und dann noch gerade eine andere Frage:
Bei der [mm] f_2 [/mm] komme ich beim Verhalte gg. [mm] \infty [/mm] auf [mm] \infty^{\infty}. [/mm] Spätestens jetzt habe ich ein richtiges Problem.
Kann das noch bestimmt divergieren? Ist meine Idee für das Verhalten im Unendlichen einfach falsch? [mm] e^{irgendwas} [/mm] bleibt ja in [mm] \infty, [/mm] aber das [mm] hoch^{x*ln(x)} [/mm] geht ja auch gegen [mm] \infty [/mm] .
Wie schlimm habe ich mich verrannt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 So 19.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo DieAcht!
> Es gilt: [mm]3^x=e^{\ln(3^x)}=e^{x*\ln(x)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt: [mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] 3^x [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] e^{x*\ln(\red{3})} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] f_4(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Loddar
> Hallo DieAcht!
>
>
> > Es gilt: [mm]3^x=e^{\ln(3^x)}=e^{x*\ln(x)}[/mm]
>
> Es gilt: [mm]f_2(x) \ = \ 3^x \ = \ ... \ = \ e^{x*\ln(\red{3})} \ \not= \ f_4(x)[/mm]
>
Vielen Dank. Habe es verbessert!
>
> Gruß
> Loddar
Gruß
DieAcht
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