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Forum "HochschulPhysik" - Wärmeleitung, Stab
Wärmeleitung, Stab < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Wärmeleitung, Stab: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Sa 19.04.2008
Autor: moomann

Aufgabe
Ein Stab der Länge l mit Kreisförmigem Querschnitt hat einen sich entlang seiner Achsen ändernden Durchmesser [mm] d=d_{0}(1+ax) [/mm] (a Konstante, x Abstand von einem Ende, [mm] d_{0} [/mm] Durchmesser an diesem Ende). Berechnen Sie den Wärmewiderstand des Stabes (Wärmeleitfähigkeit des Materials [mm] \lambda) [/mm]  

Hallo!

Ich würde mich über Hilfe zu obiger Aufgabe freuen, denn leider fehlen mir die richtigen Ansätze.

Ich muss ja zunächst die Wärmeleitfähigkeit [mm] \lambda [/mm] berechnen.
Wenn ich richtig liege, komme ich mit der Formel
[mm] \frac{dQ}{dt}=-\lambda*A*\frac{dT}{dx} [/mm]
nicht sehr weit, denn der Stab hat ja keine konstante Querschnittsfläche A. Unter genauen Betrachtungen erhält man ausgehend von der zeitlichen Änderung der Wärmemenge auch
[mm] \frac{dT}{dt}=\frac{\lambda}{\rho*c}\frac{d^2T}{dx^2}. [/mm]
Doch was soll ich nun tun, um [mm] \lambda [/mm] zu berechnen? Es bringt mir wohl kaum etwas, wenn ich diese Gleichung einfach nach [mm] \lambda [/mm] umstelle, oder? Es handelt sich ja um eine Diffusionsgleichung. Soll man die lösen (das kann ich nicht ...)?

Das nächste Problem ergibt sich dann bei der Berechnung des Wärmewiderstandes R. Es gilt
[mm] R=\frac{l}{\lambda*A}. [/mm]
Aber auch hier geht man doch sicher von einer konstanten Fläche A aus (?!), welche in unserem Fall nicht gegeben ist. Was muss ich denn nun tun?


        
Bezug
Wärmeleitung, Stab: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 So 20.04.2008
Autor: sunshinekid

In solchen Fällen solltest du es generell mit Integration probieren! (Also wenn sich eine Größe irgendwie ändert.)

Das ist mir zumindest immer so gegangen...

Tut mir Leid, dass ich grad keine Zeit hab das genauer zu betrachten.

MfG Sunny

Bezug
        
Bezug
Wärmeleitung, Stab: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 So 20.04.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Ein Stab der Länge l mit Kreisförmigem Querschnitt hat
> einen sich entlang seiner Achsen ändernden Durchmesser
> [mm]d=d_{0}(1+ax)[/mm] (a Konstante, x Abstand von einem Ende, [mm]d_{0}[/mm]
> Durchmesser an diesem Ende). Berechnen Sie den
> Wärmewiderstand des Stabes (Wärmeleitfähigkeit des
> Materials [mm]\lambda)[/mm]
> Hallo!
>  
> Ich würde mich über Hilfe zu obiger Aufgabe freuen, denn
> leider fehlen mir die richtigen Ansätze.
>  
> Ich muss ja zunächst die Wärmeleitfähigkeit [mm]\lambda[/mm]
> berechnen.

Nein. Du sollst den Wärmewiderstand bei gegebener Wärmeleitfähigkeit [mm]\lambda[/mm] ausrechnen.

>  Wenn ich richtig liege, komme ich mit der Formel
>  [mm]\frac{dQ}{dt}=-\lambda*A*\frac{dT}{dx}[/mm]
> nicht sehr weit, denn der Stab hat ja keine konstante
> Querschnittsfläche A.

Richtig. Du musst also die Querschnittsfläche als Funktion von x ansetzen und die Gleichung integrieren.

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
                
Bezug
Wärmeleitung, Stab: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 So 20.04.2008
Autor: moomann

Danke erst mal. Mir war nicht klar, dass ich [mm] \lambda [/mm] nicht auch noch irgendwie berechnen muss.

Ist es folgendermaßen richtig?

Für jedes Längenstück dx gilt für den Wärmewiderstand

[mm] R=\frac{dx}{\lambda*A(x)}, [/mm] sodass ich auf die Länge l das Integral
[mm] \integral_{0}^{l}{\frac{1}{\lambda*A(x)} dx}=\integral_{0}^{l}{\frac{1}{\lambda*\pi*\frac{1}{4}*d_{0}^2*(1+ax)^2} dx}=\frac{4}{\lambda*\pi*d_{0}^2}*\integral_{0}^{l}{(1+ax)^{-2} dx} [/mm] erhalte.

Das ergibt dann weiter
[mm] R=\frac{4}{\lambda*\pi*d_{0}^2} \left[\frac{-1}{a+a^2x} \right]^{l}_{0}=\frac{4l}{\lambda\pi d_{0}^2(al+1)}. [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Wärmeleitung, Stab: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 So 20.04.2008
Autor: leduart

Hallo
Alles richtig
Gruss leduart

Bezug
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