www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Wärmeleitungsgleichung
Wärmeleitungsgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 So 02.03.2014
Autor: racy90

Hallo

Ich soll eine möglichst allgemeine Lösung der Wärmleitungsgleichung [mm] u_{t}=u_{xx} [/mm] mit den Bedingungen  u (0,t)=u(1,t)=0

Nach ein bisschen Rechnen komme ich auf folgendes Ergebnis

[mm] u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x} [/mm]

Nur wie gehe ich mit den Bedingungen um?

Ich hätte nun u(0,t)=(1,t)=0 eingesetzt und würde auf folgende 2 GL kommen

[mm] A*e^{ \lambda t}+B*e^{ \lambda t}=0 [/mm]
[mm] A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}=0 [/mm]


        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Hallo
>  
> Ich soll eine möglichst allgemeine Lösung der
> Wärmleitungsgleichung [mm]u_{t}=u_{xx}[/mm] mit den Bedingungen  u
> (0,t)=u(1,t)=0
>  
> Nach ein bisschen Rechnen komme ich auf folgendes Ergebnis
>  
> [mm]u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}[/mm]
>  


Das ist doch nur die Lösung, wenn [mm]\lambda > 0[/mm].

Es gibt auch noch Lösungen für [mm]\lambda=0, \ \lambda < 0[/mm].


> Nur wie gehe ich mit den Bedingungen um?
>  
> Ich hätte nun u(0,t)=(1,t)=0 eingesetzt und würde auf
> folgende 2 GL kommen

>


Setze die Anfangsbedingungen in die Lösungsfunktionen ein,
und schaue ob etwas sinnvolles herauskommt.

  

> [mm]A*e^{ \lambda t}+B*e^{ \lambda t}=0[/mm]
>  [mm]A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}=0[/mm]
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 So 02.03.2014
Autor: racy90

Das sind ja meine 2 GL wenn ich die 2 Randbedingungen einsetze

[mm] A\cdot{}e^{ \lambda t}+B\cdot{}e^{ \lambda t}=0 [/mm]
[mm] A\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ \wurzel \lambda x}+B\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ - \wurzel \lambda x}=0 [/mm]


Aber wie soll ich hier etwas sinnvolles rausbekommen?

A=B=0 wäre die einfachste Lösung
A=-B wäre auch eine Lösung


Bezug
                        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Das sind ja meine 2 GL wenn ich die 2 Randbedingungen
> einsetze
>  
> [mm]A\cdot{}e^{ \lambda t}+B\cdot{}e^{ \lambda t}=0[/mm]
>  
> [mm]A\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ \wurzel \lambda x}+B\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ - \wurzel \lambda x}=0[/mm]
>
>
> Aber wie soll ich hier etwas sinnvolles rausbekommen?
>  
> A=B=0 wäre die einfachste Lösung
>  A=-B wäre auch eine Lösung
>  


Hier hast Du nur die Lösung für [mm]\lambda >0[/mm] untersucht.

Die anderen beiden möglichen Lösungen,
das sind die Lösungen für [mm]\lambda=0[/mm] und  [mm]\lambda<0[/mm],
sind noch zu untersuchen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 So 02.03.2014
Autor: racy90

Wenn ich nun den Fall [mm] \lambda [/mm] =0 untersuche sehen meine Gleichungen so aus

B=-A
[mm] B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x} [/mm]

Für [mm] \lambda [/mm] <0 sehen sie doch so aus

B=-A
[mm] B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x} [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Wenn ich nun den Fall [mm]\lambda[/mm] =0 untersuche sehen meine
> Gleichungen so aus
>  
> B=-A
>  [mm]B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}[/mm]
>  
> Für [mm]\lambda[/mm] <0 sehen sie doch so aus
>  
> B=-A
>  [mm]B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}[/mm]
>  


Poste doch Deine Rechenschritte dazu.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 So 02.03.2014
Autor: racy90

Naja wenn [mm] \lambda [/mm] =0

Bleibt für ja nur A und B stehen weil [mm] e^{ \lambda t} [/mm] ja 1 ist also B=-A

Wenn [mm] \lambda [/mm] <0

Kann ich [mm] e^{ \lambda t} [/mm] und [mm] e^{wurzel \lambda x} [/mm] zusammenfassen und auf die andere Seite bringen.

Somit [mm] B=-Ae^{2\wurzel \lambda x} [/mm]

Aber ich bin mir sehr unsicher und lass mich hier eigentlich von Wolfram Alpha leiten :/

Bezug
                                                        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Naja wenn [mm]\lambda[/mm] =0
>  
> Bleibt für ja nur A und B stehen weil [mm]e^{ \lambda t}[/mm] ja 1
> ist also B=-A
>  
> Wenn [mm]\lambda[/mm] <0
>  
> Kann ich [mm]e^{ \lambda t}[/mm] und [mm]e^{wurzel \lambda x}[/mm]
> zusammenfassen und auf die andere Seite bringen.
>  
> Somit [mm]B=-Ae^{2\wurzel \lambda x}[/mm]
>  
> Aber ich bin mir sehr unsicher und lass mich hier
> eigentlich von Wolfram Alpha leiten :/


Ausgehend von

[mm]u_{t}=u_{xx}[/mm]

und dem Ansatz

[mm]u\left(x,t\right)=T\left(t\right)*X\left(x\right)[/mm]

erhält man

[mm]\bruch{T'}{T}=\bruch{X''}{X}=\lambda, \ \lambda \in \IR[/mm]

bzw.

[mm]T'-\lambda*T=0[/mm]

[mm]X''-\lambda*X=0[/mm]

Jetzt löse diese DGL in Abhängigkeit von [mm]\lambda[/mm].

Für jede Lösung musst Du dann schauen,
was sich mit den geforderten Anfangsbedingungen ergibt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 So 02.03.2014
Autor: racy90

Also bis zu der unten angebenen Gleichung [mm] u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{- \wurzel \lambda x} [/mm]
bin ich schon selbst gekommen aber ich kann leider nichts mit den Randbedinungen anfangen.Wie und wo ich sie einsetzen soll damit ich nun endlich eine Lösung erhalte.

Bezug
                                                                        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mo 03.03.2014
Autor: leduart

Hallo
wie kommst du denn aus A=-B zu [mm] A=-B*e^{--}? [/mm] das passt doch nicht zusammen?
und was ist mit den neg lambda, also den Lösungen [mm] sin(|\lambda|*x) [/mm] usw?
warum gehst du nicht darauf ein? dass u=0 eine triviale Lösung ist gehört dazu..
Gruß leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de