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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:40 Fr 23.12.2016
Autor: gkurt

Hallo bitte eure Hilfe zu dem Aufgabe

Sei u: [mm] R^n \times R^n \to [/mm] R kalorisch. Zeigen Sie folgendes: [mm] e^u [/mm] kalorisch [mm] \rightarrow [/mm] u konstant.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Fr 23.12.2016
Autor: Chris84


> Hallo bitte eure Hilfe zu dem Aufgabe
>  
> Sei u: [mm]R^n \times R^n \to[/mm] R kalorisch. Zeigen Sie
> folgendes: [mm]e^u[/mm] kalorisch [mm]\rightarrow[/mm] u konstant.
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Huhu,
klingt spannend.

Ich kann dir leider nicht viel helfen, aber koenntest du vlt. die Definition angeben, wann eine Funktion $u$ kalorisch genannt wird?

Gruss,
Chris

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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Fr 23.12.2016
Autor: gkurt

Eine Funktion u [mm] \in C^2(U_T) [/mm] heißt kalorisch  in [mm] U_T [/mm] , falls [mm] u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u = 0 in [mm] U_T [/mm] .
(wobei U [mm] \in \IR^n [/mm] offen, T [mm] \in (0,\infty] [/mm]  
[mm] U_T [/mm] : U [mm] \times [/mm] (0,T])

Ich hoffe das hilft dir
lg,
Gökhan

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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Fr 23.12.2016
Autor: Chris84

Huhu,
das scheint relativ einfach zu sein.

[mm] $e^{u}$ [/mm] soll kalorisch sein, also gilt

[mm] $0=\frac{\partial}{\partial t} \left(e^{u}\right) [/mm] - [mm] \Delta \left( e^{u}\right)$. [/mm]

Nun einfach die Ableitungen unter Beachtung der Kettenregel ausfuehren, [mm] $e^u$ [/mm] ausklammern und ausnutzen, dass $u$ selbst kalorisch ist. Dann bist du auch schon fertig :)

Gruss,
Chris

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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 Fr 23.12.2016
Autor: gkurt

so einfach war das :)
Danke schön
lg,
gkurt

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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:20 Sa 24.12.2016
Autor: gkurt

Wie sieht eigentlich die zweite Ableitung nach x von [mm] e^u(x,t) [/mm] aus?

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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Sa 24.12.2016
Autor: Chris84


> Wie sieht eigentlich die zweite Ableitung nach x von
> [mm]e^u(x,t)[/mm] aus?

Huhu,
es ist

[mm] $\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}e^u [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial}{\partial x_i} e^u \right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial u}{\partial x_i} e^u\right) [/mm] = [mm] \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} e^u [/mm] + [mm] \left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)^2 e^u [/mm] = [mm] \left[\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} + \left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)^2 \right] e^u$. [/mm]

Klar soweit!? :)

Gruss,
Chris

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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 Sa 24.12.2016
Autor: gkurt

[mm] u_t-(u_x^2+u_t^2+u_x_x+u_t_t)=0 [/mm]

am ende bekommt man das oder?

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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Sa 24.12.2016
Autor: Chris84


> [mm]u_t-(u_x^2+u_t^2+u_x_x+u_t_t)=0[/mm]
>  
> am ende bekommt man das oder?

Huhu,
wenn du ne Frage hast, am besten auch als Frage stellen ;) (Hab's ja aber dennoch gesehen.)

Erstens: Haben wir nun eine oder $n$ Raumdimensionen? Ich frage, weil du nun nur Ableitungen nach $x$ stehen hast, aber nicht nach $y$ etc. (bzw. keinen Laplaceoperator). Urspruenglich sollte das Problem doch $n$ - dimensional in $x$ sein, oder?
Zweitens: Wo kommen die hoeheren Zeitableitungen her?

Also ich bekomme

[mm] $u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u - [mm] |\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0$.

Gruss,
Chris


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Wärmeleitungsgleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:05 Sa 24.12.2016
Autor: gkurt

Sorry ich bin ganz neu in der forum :)
u hängt bei meiner Aufgabe von zwei Variablen ab also x und t, wobei t=Zeit und x ein n-Dimensionale Vektor.Ich glaube deine Lösung ist identisch mit meiner Lösung.
Also wenn $ [mm] u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u - [mm] |\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0 $ das gilt dann u ist kalorisch?

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Wärmeleitungsgleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 Mo 26.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 So 25.12.2016
Autor: gkurt

es ist jetzt so richtig oder?


[mm] u_t-\Delta u=u_x^2+u_t^2 \Rightarrow u_x^2+u_t^2=0 \Rightarrow [/mm] u konstant

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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 So 25.12.2016
Autor: Chris84


> es ist jetzt so richtig oder?
>  
>
> [mm]u_t-\Delta u=u_x^2+u_t^2 \Rightarrow u_x^2+u_t^2=0 \Rightarrow[/mm]
> u konstant

Hmmm,
ich habe dir doch schon geschrieben, dass man nach Einsetzen und Ableiten

$ [mm] u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u - [mm] |\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0 $ (*)

bekommt. (Nicht nur [mm] $u_x^2$; [/mm] $x$ ist $n$ dimensional. Der Gradient ist uebrigens als Gradient nach $x$ zu verstehen.)

Ich sehe auch nicht, wie du nun auf [mm] $u_t^2$ [/mm] kommst? Manchmal ist es bestimmt praktisch auch seinen Rechenweg darzulegen.

Naja, ansonsten hast du die richtige Idee gehabt.

Wenn man nun in (*) [mm] $u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u=0$ setzt (da $u$ kalorisch ist), bleibt

[mm] $|\vec{\nabla} u|^2 [/mm] = 0$

uebrig. Frage hier: was bedeutet das nun fuer $u$?

Gruss,
Chris


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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:58 Mo 26.12.2016
Autor: gkurt

Ableitung einer konstanten Funktion ist Null.
Also u ist dann konstant.


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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Mo 26.12.2016
Autor: Chris84


> Ableitung einer konstanten Funktion ist Null.
>  Also u ist dann konstant.
>    

Naja, fast....

[mm] $\vec{\nabla} [/mm] u = 0$ heisst erst mal, dass $u$ konstant bzgl. $x$ ist.

Wenn man dann aber noch

[mm] $u_t [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u = 0$

sowie die Tatsache, dass $u$ konstant bzgl. $x$ ist, folgt daraus sofort, dass

[mm] $u_t=0$ [/mm]

und damit dann, dass $u$ auch bzgl. $t$ konstant ist.

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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:31 Mo 26.12.2016
Autor: gkurt

Es gilt aber andere Richtung auch.Also wenn u konstant ist dann [mm] e^u [/mm] kalorisch.


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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Mo 26.12.2016
Autor: Chris84


> Es gilt aber andere Richtung auch.Also wenn u konstant ist
> dann [mm]e^u[/mm] kalorisch.
>  

Ist das eine Frage oder eine Aussage?

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Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:17 Di 27.12.2016
Autor: gkurt

Das ist eine Aussage :)

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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:52 Do 29.12.2016
Autor: gkurt

Hallo Chris84,

Ist das so richtig gemeint für die andere Richtung also für;
Wenn u konstant ist dann [mm] e^u [/mm] kalorisch :

Also da u konstant ist dann die Ableitungen von u ist 0.
wenn man [mm] e^u [/mm] in die Gleichung einsetzt und die Ableitungen durchführt dann bekommt man dass die gleichung gleich 0 ist, also dann [mm] e^u [/mm] ist kalorisch

Danke für deine Hilfe,
lg
gkurt

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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Do 29.12.2016
Autor: fred97


> Hallo Chris84,
>  
> Ist das so richtig gemeint für die andere Richtung also
> für;
>  Wenn u konstant ist dann [mm]e^u[/mm] kalorisch :
>  
> Also da u konstant ist dann die Ableitungen von u ist 0.
>  wenn man [mm]e^u[/mm] in die Gleichung einsetzt und die Ableitungen
> durchführt dann bekommt man dass die gleichung gleich 0
> ist, also dann [mm]e^u[/mm] ist kalorisch

wenn u konstant ist, so auch [mm] e^u [/mm] . .......


>  
> Danke für deine Hilfe,
>  lg
> gkurt


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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Do 29.12.2016
Autor: gkurt

Ist meine Beweis Richtig?

Bezug
                                
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Do 29.12.2016
Autor: Chris84


> Ist meine Beweis Richtig?

Ja, so kann man es machen. Aber es geht eben auch deutlich einfacher, wie Fred geschrieben hat.

Bezug
                        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Do 29.12.2016
Autor: gkurt

Vielen Dank.. Es war sehr nett von euch ;)
lieber Grüße
gkurt

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