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| Aufgabe | Wir betrachten das Anfangswertproblem für die Wärmeleitungsgleichung auf [mm]\IR^n[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial t}f(t,x)=\Delta f(t,x) ,t>0[/mm]
[mm]\lim_{t\to 0}f(t,x)=g(x)[/mm] mit [mm]g\in S(\IR^n)[/mm], Schwartzraum
Beweise: Wenn [mm]f(t,x)\in C^\infty (\IR \times \IR^n)[/mm] ist und [mm]f(t_0 ,x)\in S(\IR^n) \forall t_0 >0[/mm]
[mm]\Rightarrow f(t,x)=(K_t \* g)(x)[/mm]
mit [mm]\*[/mm] dem Faltungsoperator und [mm]K_t(x)=\bruch{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-\bruch{x^2}{4t}}[/mm] |
Zum wiederholtenmale Grüße Matheraum.
Ich habe bei obiger Aufgabe bereits gezeigt, das [mm]K_t(x)[/mm] eine Lösung der DGL ist. (Durch nachrechnen der Gleichung [mm]\bruch{\partial}{\partial t}K_t(x)-\Delta K_t(x)=0[/mm].
Momentan hänge ich an der Begründung, das dann auch [mm](K_t\* g)(x)[/mm] die Gleichung löst. Hier fehlt mir allerdings die Idee, ich weiß ja über g nichts weiter, als das es im Schwartzraum liegt.
Wenn ich das gezeigt habe, dann fehlt noch, das die gefundene Lösung eindeutig ist und das [mm](K_t\* g)(x)\in C^\infty (\IR \times \IR^n)[/mm] und [mm](K_t0\* g)(x) \in S(\IR^n) \forall t_0 >0[/mm]. Richtig?
Also zum einen: Wie mache ich das mit der Faltung?
zum andern: Ist die Aufgabe gelöst, wenn ich das mit der Faltung und die beiden Bedingungen aus dem letzten Abschnitt gezeigt habe?
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Für Hinweise und Ideen bin ich wie immer dankbar.
Grüße
Phorkyas
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 05.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
Grüße nochmals.
Also die Sache mit der Faltung habe ich jetzt hinbekommen.
Ich konnte zeigen, dass
[mm]D^\alpha (f \*g)(x)=((D^\alpha f)\*g)(x) \forall f\in C^\infty[/mm]
Daraus folgt dann sofort, dass [mm](K_t \* g)(x)[/mm] auch eine Lösung der DGL ist.
Jetzt bin ich mir nur nicht sicher, ob ich die Aufgabe gelöst habe, wenn ich die beiden verbliebenen Aussagen gezeigt habe.
Auch die Eindeutigkeit macht mir große Sorgen.
Wie zeige ich sowas?
Wäre für Hilfe sehr dankbar!
Grüße
Phorkyas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:13 Fr 08.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Grüße nochmals.
>
> Also die Sache mit der Faltung habe ich jetzt hinbekommen.
> Ich konnte zeigen, dass
> [mm]D^\alpha (f \*g)(x)=((D^\alpha f)\*g)(x) \forall f\in C^\infty[/mm]
>
> Daraus folgt dann sofort, dass [mm](K_t \* g)(x)[/mm] auch eine
> Lösung der DGL ist.
>
> Jetzt bin ich mir nur nicht sicher, ob ich die Aufgabe
> gelöst habe, wenn ich die beiden verbliebenen Aussagen
> gezeigt habe.
Was willst du da zeigen? Die Faltung zweier Schwartzfunktionen ist eine Schwartzfunktion.
> Auch die Eindeutigkeit macht mir große Sorgen.
> Wie zeige ich sowas?
Die Wärmeleitungsgleichung ist eine lineare PDGL. Da kannst du doch direkt nachrechnen, dass die Differenz zweier Lösungen 0 ist.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 06.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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