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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 So 18.12.2011 | | Autor: | paul87 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Wärmeleitungsgleichung mit Hilfe der Fourier-Methode:
Ut=Uxx,
U(0,t)=U(1,t)=0,
[mm] U(x,0)=sin(3*\pi*x),
[/mm]
wobei 0<x<1 und t>0. |
Hallo Leute,
eigentlich ist diese Aufgabe ganz einfach.
Fourier-Gleichung:
[mm] U(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}Bn*e^{-n^2*\pi^2*t}*sin(n*\pi*x)
[/mm]
Jetzt "nur" noch Bn berechnen. Dazu gibt es folgende Formel:
[mm] Bn=2*\integral_{0}^{1}{sin(3*\pi*x)*sin(n*\pi*x) dx}
[/mm]
Ich habe hier aber die Lösung samt Lösungsweg vorliegen. Der Prof. hat geschrieben:
Bn: Fourier-Koeff. von [mm] sin(3*\pi*x) [/mm] (2-periodisch, ungerade)
[mm] sin(3*\pi*x)=sin(3*\pi*x)
[/mm]
B3=1, B1=0
d.h. [mm] U(x,t)=e^{-9*\pi^2*t}*sin(3*\pi*x).
[/mm]
Nun zu meiner Frage. Ich verstehe nicht was er da jetzt gemacht hat. Er hat das Lösungsintegral für Bn nicht benutzt. Aber was hat er gemacht?
Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Vielen Dank.
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Hallo paul87,
> Lösen Sie folgende Wärmeleitungsgleichung mit Hilfe der
> Fourier-Methode:
>
> Ut=Uxx,
> U(0,t)=U(1,t)=0,
> [mm]U(x,0)=sin(3*\pi*x),[/mm]
>
> wobei 0<x<1 und t>0.
> Hallo Leute,
>
> eigentlich ist diese Aufgabe ganz einfach.
>
> Fourier-Gleichung:
>
> [mm]U(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}Bn*e^{-n^2*\pi^2*t}*sin(n*\pi*x)[/mm]
>
> Jetzt "nur" noch Bn berechnen. Dazu gibt es folgende
> Formel:
>
> [mm]Bn=2*\integral_{0}^{1}{sin(3*\pi*x)*sin(n*\pi*x) dx}[/mm]
>
> Ich habe hier aber die Lösung samt Lösungsweg vorliegen.
> Der Prof. hat geschrieben:
>
> Bn: Fourier-Koeff. von [mm]sin(3*\pi*x)[/mm] (2-periodisch,
> ungerade)
> [mm]sin(3*\pi*x)=sin(3*\pi*x)[/mm]
> B3=1, B1=0
>
> d.h. [mm]U(x,t)=e^{-9*\pi^2*t}*sin(3*\pi*x).[/mm]
>
> Nun zu meiner Frage. Ich verstehe nicht was er da jetzt
> gemacht hat. Er hat das Lösungsintegral für Bn nicht
> benutzt. Aber was hat er gemacht?
>
> Kann mir das vielleicht jemand erklären?
>
Die Fourierreihe von [mm]\sin\left(3*\pi*x\right)[/mm] ist die Funktion selbst.
Daher konnte er einen Koeffizientenvergleich durchführen.
[mm]U(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}B_{n}*sin(n*\pi*x)=0*sin\left(1*\pi*x\right)+0*sin\left(2*\pi*x\right)+1*sin\left(3*\pi*x\right)+0*sin\left(4*\pi*x\right)+ ...[/mm]
Damit folgt:
[mm]B_{n}=\left\{\begin{matrix} 1 &n=3 \\ 0 & sonst\end{matrix}\right[/mm]
> [mm][mm] U(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}Bn*e^{-n^2*\pi^2*t}*sin(n*\pi*x)[/
[/mm]
mm]
> Vielen Dank.
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Di 20.12.2011 | | Autor: | paul87 |
Vielen Dank für die Hilfe!
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