Wärmeleitungsgleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige: Die Funktion
f(x,t) := [mm] t^{-n/2} \* exp(-\bruch{||x||^2}{4t})
[/mm]
ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung
[mm] \Delta [/mm] f - [mm] \bruch{\partial f}{\partial t} [/mm] = 0 |
huhu,
ichj dachte bei der Aufgabe erstma OMg.... und das denk ich immer noch... Ich habs zuerst versucht, indem ich 2 mal nach t ableite und 2 mal nach x, sodass ich den Laplace Operator benutzen kann, allerdings sind meine Brüche so heftig geworden, dass die Gleichung nicht aufgeht und ich deshalb diese Lösung hier gefunden habe, allerdings verstehe ich sie nicht, kann mir jemand die Schritte erklären?
Unter der Verwendung von Produkt und Kettenregel schließt man folgendermaßen:
[mm] \Delta [/mm] f(x,t) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^2 f}{\partial x_{i}^2} [/mm] (x,t)
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}^2} (t^{-n/2} \* [/mm] exp ( [mm] \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* [/mm] 1/4t))
wieso verschwindet hier ein [mm] \partial [/mm] oben im Zähler? da passiert doch noch gar nix oder?
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}} [/mm] ( f(x,t) [mm] \* \bruch{-x_i}{2t} [/mm] )
was ist denn hier bitte passiert? ein partial fällt raus aus dem Nenner also wurde doch abgeleitet nach x, wie passierte das denn hier?
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( f(x,t) [mm] \* (\bruch{-x_i}{2t})^2 [/mm] + f(x,t) [mm] \* \bruch{-1}{2t})
[/mm]
ich versteh echt nicht wie das abgeleitet wurd..
= f(x,t) [mm] (\bruch{||x||^2}{4t^2} [/mm] - [mm] \bruch{n}{2t} [/mm] )
naja die summe versteh ich zumindest..
der andere rechenteil:
[mm] \bruch{\partial f }{\partial t} [/mm] (x,t)
= [mm] \bruch{\partial }{\partial t} [/mm] ( f(x,t)
= [mm] \Delta [/mm] f(x,t)
daher geht die Gleichung auf.
Ich bin sehr ehrgeizig und möchte dies gern nachvollziehen können ;( wäre lieb wenn das jmd durchschauen kann
Lg,
Eve
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Hallo EvelynSnowley2311,
> Man zeige: Die Funktion
> f(x,t) := [mm]t^{-n/2} \* exp(-\bruch{||x||^2}{4t})[/mm]
>
> ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung
>
> [mm]\Delta[/mm] f - [mm]\bruch{\partial f}{\partial t}[/mm] = 0
> huhu,
>
> ichj dachte bei der Aufgabe erstma OMg.... und das denk ich
> immer noch... Ich habs zuerst versucht, indem ich 2 mal
> nach t ableite und 2 mal nach x, sodass ich den Laplace
> Operator benutzen kann, allerdings sind meine Brüche so
> heftig geworden, dass die Gleichung nicht aufgeht und ich
> deshalb diese Lösung hier gefunden habe, allerdings
> verstehe ich sie nicht, kann mir jemand die Schritte
> erklären?
>
>
>
>
> Unter der Verwendung von Produkt und Kettenregel schließt
> man folgendermaßen:
>
> [mm]\Delta[/mm] f(x,t) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^2 f}{\partial x_{i}^2}[/mm]
> (x,t)
>
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}^2} (t^{-n/2} \*[/mm]
> exp ( [mm]\summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \*[/mm] 1/4t))
>
> wieso verschwindet hier ein [mm]\partial[/mm] oben im Zähler? da
> passiert doch noch gar nix oder?
>
Hier wurde eine "2" vergessen.
Richtig muss es daher lauten:
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^{\blue{2}}}{\partial x_{i}^2} (t^{-n/2} \*
exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t))[/mm]
Die obige Summe kannst Du doch auch so schreiben:
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^{2} }{\partial x_{i}^2} ( \ t^{-n/2} \*
exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t) \ )=\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial }{\partial x_{i}} (\bruch{\partial }{\partial x_{i}} \left( \ t^{-n/2} \*exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t)\right))[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}}[/mm] (
> f(x,t) [mm]\* \bruch{-x_i}{2t}[/mm] )
>
Das ergibt dann:
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial }{\partial x_{i}} ( \ t^{-n/2} \*exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t)*\bruch{-x_{i}}{2*t} \ )=\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial }{\partial x_{i}} ( \ f\left(x,t\right)*\bruch{-x_{i}}{2*t} \ )[/mm]
> was ist denn hier bitte passiert? ein partial fällt raus
> aus dem Nenner also wurde doch abgeleitet nach x, wie
> passierte das denn hier?
>
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ( f(x,t) [mm]\* (\bruch{-x_i}{2t})^2[/mm] +
> f(x,t) [mm]\* \bruch{-1}{2t})[/mm]
>
Hier wurde [mm]f\left(x,t\right)*\bruch{-x_{i}}{2*t}[/mm]
nochmals partiell nach [mm]x_{i}[/mm] differenziert.
> ich versteh echt nicht wie das abgeleitet wurd..
>
> = f(x,t) [mm](\bruch{||x||^2}{4t^2}[/mm] - [mm]\bruch{n}{2t}[/mm] )
>
> naja die summe versteh ich zumindest..
>
>
> der andere rechenteil:
>
>
> [mm]\bruch{\partial f }{\partial t}[/mm] (x,t)
>
> = [mm]\bruch{\partial }{\partial t}[/mm] ( f(x,t)
>
> = [mm]\Delta[/mm] f(x,t)
>
> daher geht die Gleichung auf.
>
>
> Ich bin sehr ehrgeizig und möchte dies gern nachvollziehen
> können ;( wäre lieb wenn das jmd durchschauen kann
>
>
>
> Lg,
>
>
> Eve
Gruss
MathePower
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hey,
also kann ich sagen dass nie erklärt worden ist, was man ableitet und wie?
ich meine z.b
>
>
> > Unter der Verwendung von Produkt und Kettenregel schließt
> > man folgendermaßen:
> >
> > [mm]\Delta[/mm] f(x,t) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^2 f}{\partial x_{i}^2}[/mm]
> > (x,t)
> >
> >
> > = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}^2} (t^{-n/2} \*[/mm]
> > exp ( [mm]\summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \*[/mm] 1/4t))
> >
> > wieso verschwindet hier ein [mm]\partial[/mm] oben im Zähler? da
> > passiert doch noch gar nix oder?
> >
>
>
> Hier wurde eine "2" vergessen.
>
> Richtig muss es daher lauten:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^{\blue{2}}}{\partial x_{i}^2} (t^{-n/2} \*
exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t))[/mm]
>
>
>
> Die obige Summe kannst Du doch auch so schreiben:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial^{2} }{\partial x_{i}^2} ( \ t^{-n/2} \*
exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t) \ )=\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial }{\partial x_{i}} (\bruch{\partial }{\partial x_{i}} \left( \ t^{-n/2} \*exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t)\right))[/mm]
>
>
> > = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}}[/mm] (
> > f(x,t) [mm]\* \bruch{-x_i}{2t}[/mm] )
> >
Nur woher kommt [mm] \bruch{-x_i}{2t} [/mm] genau? ich kanns ja nicht aus der darstellung raus sehen, die ich hier habe oder??
>
> Das ergibt dann:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial }{\partial x_{i}} ( \ t^{-n/2} \*exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t)*\bruch{-x_{i}}{2*t} \ )=\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial }{\partial x_{i}} ( \ f\left(x,t\right)*\bruch{-x_{i}}{2*t} \ )[/mm]
>
>
> > was ist denn hier bitte passiert? ein partial fällt raus
> > aus dem Nenner also wurde doch abgeleitet nach x, wie
> > passierte das denn hier?
> >
> >
> > = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ( f(x,t) [mm]\* (\bruch{-x_i}{2t})^2[/mm] +
> > f(x,t) [mm]\* \bruch{-1}{2t})[/mm]
> >
>
>
> Hier wurde [mm]f\left(x,t\right)*\bruch{-x_{i}}{2*t}[/mm]
> nochmals partiell nach [mm]x_{i}[/mm] differenziert.
>
>
> > ich versteh echt nicht wie das abgeleitet wurd..
> >
> > = f(x,t) [mm](\bruch{||x||^2}{4t^2}[/mm] - [mm]\bruch{n}{2t}[/mm] )
> >
> > naja die summe versteh ich zumindest..
> >
> >
> > der andere rechenteil:
> >
> >
> > [mm]\bruch{\partial f }{\partial t}[/mm] (x,t)
> >
> > = [mm]\bruch{\partial }{\partial t}[/mm] ( f(x,t)
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> > = [mm]\Delta[/mm] f(x,t)
> >
> > daher geht die Gleichung auf.
> >
> >
> > Ich bin sehr ehrgeizig und möchte dies gern nachvollziehen
> > können ;( wäre lieb wenn das jmd durchschauen kann
> >
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> > Lg,
> >
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> > Eve
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>
> Gruss
> MathePower
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Hallo EvelynSnowley2311,
> hey,
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> also kann ich sagen dass nie erklärt worden ist, was man
> ableitet und wie?
> ich meine z.b
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> >
> >
> > > = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}}[/mm] (
> > > f(x,t) [mm]\* \bruch{-x_i}{2t}[/mm] )
> > >
> Nur woher kommt [mm]\bruch{-x_i}{2t}[/mm] genau? ich kanns ja
> nicht aus der darstellung raus sehen, die ich hier habe
> oder??
Das kommt von der inneren Ableitung von [mm] exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t)[/mm] nach [mm]x_{i}[/mm].
Gruss
MathePower
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achhsoo
aber in
> >
> > >
> > >
> > > > = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}}[/mm] (
> > > > f(x,t) [mm]\* \bruch{-x_i}{2t}[/mm] )
> > > >
> > Nur woher kommt [mm]\bruch{-x_i}{2t}[/mm] genau? ich kanns ja
> > nicht aus der darstellung raus sehen, die ich hier habe
> > oder??
>
>
> Das kommt von der inneren Ableitung von [mm]exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t)[/mm]
> nach [mm]x_{i}[/mm].
>
da fehlt dann aber ein - Zeichen nach exp vor der Summe oder?
also
exp ( - [mm] \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* [/mm] 1/4t)
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Hallo EvelynSnowley2311,
> achhsoo
>
> aber in
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> > > >
> > > >
> > > > > = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}}[/mm] (
> > > > > f(x,t) [mm]\* \bruch{-x_i}{2t}[/mm] )
> > > > >
> > > Nur woher kommt [mm]\bruch{-x_i}{2t}[/mm] genau? ich kanns ja
> > > nicht aus der darstellung raus sehen, die ich hier habe
> > > oder??
> >
> >
> > Das kommt von der inneren Ableitung von [mm]exp ( \summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \* 1/4t)[/mm]
> > nach [mm]x_{i}[/mm].
> >
> da fehlt dann aber ein - Zeichen nach exp vor der Summe
> oder?
Ja.
> also
> exp ( - [mm]\summe_{j=1}^{n} x_{j}^2 \*[/mm] 1/4t)
Gruss
MathePower
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