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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie,ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.Beweisen Sie die Aussagen gegebenfalls oder widerlegen Sie diese mit einem Gegenbeispiel.
a.) Die Vektoren einer Vektormenge,in der der Nullvektor enthalten ist,sind linear abhängig. |
Hallo zusammen^^
Ich will mich mal an diese Aufgabe versuchen.Jedoch weiß ich nicht genau,was ich mir unter einer VektorMENGE vorstellen soll.
Ist es einfach nur ein Vektor z.B. [mm] \vektor{x \\ y}?
[/mm]
Oder mehrere Vektoren addiert?
Oder was anderes?
Vielen dank für eure Hilfe
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 15.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
es ist eine Menge von Vektoren gemeint, also mehrere Vektoren von denen einer der Nullvektor ist.
Jetzt betrachtest Du die Definition von linearer Abhängigkeit und folgerst ob die Aussage wahr oder falsch ist.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> es ist eine Menge von Vektoren gemeint, also mehrere
> Vektoren von denen einer der Nullvektor ist.
>
> Jetzt betrachtest Du die Definition von linearer
> Abhängigkeit und folgerst ob die Aussage wahr oder falsch
> ist.
>
Ok,danke.
Also ich würde vermuten,dass die Aussage stimmt.
Hab mir dazu ein Beispiel ausgedacht,also [mm] \vec{a}=\vektor{2 \\ 1},\vec{b}=\vektor{3 \\ 2},\vec{c}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
2r+3s=0
r+2s=0
r=-2s
2*-2s+3s=0
-s=0 --> r=0
Dann kommt aber für r und s nur 0 raus.Das heißt,dass die Aussage doch falsch ist oder wie?
lg
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Hallo Mandy,
> > Hallo,
> >
> > es ist eine Menge von Vektoren gemeint, also mehrere
> > Vektoren von denen einer der Nullvektor ist.
> >
> > Jetzt betrachtest Du die Definition von linearer
> > Abhängigkeit und folgerst ob die Aussage wahr oder falsch
> > ist.
> >
>
> Ok,danke.
> Also ich würde vermuten,dass die Aussage stimmt.
> Hab mir dazu ein Beispiel ausgedacht,also
> [mm]\vec{a}=\vektor{2 \\ 1},\vec{b}=\vektor{3 \\ 2},\vec{c}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> 2r+3s=0
> r+2s=0
>
> r=-2s
> 2*-2s+3s=0
> -s=0 --> r=0
>
> Dann kommt aber für r und s nur 0 raus.Das heißt,dass die
> Aussage doch falsch ist oder wie?
Nein, warum?
Hier sind die ersten beiden Vektoren linear unabhängig, daher dieses Ergebnis
Aber du kannst doch den Parameter t beliebig setzen, zB. t=5
Dann hast du mit r=s=0 und t=5 eine nicht triviale LK gefunden.
Allg. setze einfach alle Parameter für die Vektoren [mm] \neq \vec{0} [/mm] fest als 0, den Parameter für den Nullvektor wähle beliebig [mm] (\neq [/mm] 0)
Damit hast du die gesuchte nichttriviale LK und die Vektoren sind linear abh.
Überlege dir noch den "Spezialfall", wenn die Vektormenge ausschließlich aus dem Nullvektor besteht, also [mm] $M=\{\vec{0}\}$
[/mm]
Linear abhängig oder nicht?
>
> lg
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | b.) Enthält eine Menge von Vektoren einen Vektor und seinen Gegenvektor,sind die Vektoren der Menge linear abhängig.
c.) Streicht man von n linear unabhängigen Vektoren einen Vektor,so sind die restlichen n-1 Vektoren linear unabhängig.
d.) Streicht man von n linear abhängigen Vektoren einen Vektor,so sind die restlichen n-1 Vektoren linear abhängig.
e.) Fügt man zu n linear unabhängigen Vektoren einen beliebigen Vektor zu,so sind die n+1 Vektoren stets linear unabhängig.
f.) Fügt man zu n linear abhängigen Vektoren einen beliebigen Vektor zu,so sind die n+1 Vektoren stets linear abhängig. |
> > Dann kommt aber für r und s nur 0 raus.Das heißt,dass die
> > Aussage doch falsch ist oder wie?
>
> Nein, warum?
>
> Hier sind die ersten beiden Vektoren linear unabhängig,
> daher dieses Ergebnis
>
> Aber du kannst doch den Parameter t beliebig setzen, zB.
> t=5
>
> Dann hast du mit r=s=0 und t=5 eine nicht triviale LK
> gefunden.
>
> Allg. setze einfach alle Parameter für die Vektoren [mm]\neq \vec{0}[/mm]
> fest als 0, den Parameter für den Nullvektor wähle beliebig
> [mm](\neq[/mm] 0)
>
> Damit hast du die gesuchte nichttriviale LK und die
> Vektoren sind linear abh.
>
>
> Überlege dir noch den "Spezialfall", wenn die Vektormenge
> ausschließlich aus dem Nullvektor besteht, also
> [mm]M=\{\vec{0}\}[/mm]
>
> Linear abhängig oder nicht?
>
Achsooo,ok jetzt hab ichs verstanden,danke =).
Dann müsste der Spezialfall auch linear abhängig sein oder?
Dann hab ich mich grad mal an noch ein paar Aussagen versucht.
b.) Würd ich sagen ist richtig.
c.) stimmt auch
d.) stimmt ebenfalls
e.) stimmt
f.) stimmt
Dann stimmt ja alles,stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
> b.) Enthält eine Menge von Vektoren einen Vektor und seinen
> Gegenvektor,sind die Vektoren der Menge linear abhängig.
>
> c.) Streicht man von n linear unabhängigen Vektoren einen
> Vektor,so sind die restlichen n-1 Vektoren linear
> unabhängig.
>
> d.) Streicht man von n linear abhängigen Vektoren einen
> Vektor,so sind die restlichen n-1 Vektoren linear
> abhängig.
>
> e.) Fügt man zu n linear unabhängigen Vektoren einen
> beliebigen Vektor zu,so sind die n+1 Vektoren stets linear
> unabhängig.
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> f.) Fügt man zu n linear abhängigen Vektoren einen
> beliebigen Vektor zu,so sind die n+1 Vektoren stets linear
> abhängig.
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> > > Dann kommt aber für r und s nur 0 raus.Das heißt,dass die
> > > Aussage doch falsch ist oder wie?
> >
> > Nein, warum?
> >
> > Hier sind die ersten beiden Vektoren linear unabhängig,
> > daher dieses Ergebnis
> >
> > Aber du kannst doch den Parameter t beliebig setzen, zB.
> > t=5
> >
> > Dann hast du mit r=s=0 und t=5 eine nicht triviale LK
> > gefunden.
> >
> > Allg. setze einfach alle Parameter für die Vektoren [mm]\neq \vec{0}[/mm]
> > fest als 0, den Parameter für den Nullvektor wähle beliebig
> > [mm](\neq[/mm] 0)
> >
> > Damit hast du die gesuchte nichttriviale LK und die
> > Vektoren sind linear abh.
> >
> >
> > Überlege dir noch den "Spezialfall", wenn die Vektormenge
> > ausschließlich aus dem Nullvektor besteht, also
> > [mm]M=\{\vec{0}\}[/mm]
> >
> > Linear abhängig oder nicht?
> >
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> Achsooo,ok jetzt hab ichs verstanden,danke =).
> Dann müsste der Spezialfall auch linear abhängig sein
> oder?
>
> Dann hab ich mich grad mal an noch ein paar Aussagen
> versucht.
>
> b.) Würd ich sagen ist richtig.
>
> c.) stimmt auch
>
> d.) stimmt ebenfalls
>
> e.) stimmt
d und e sind falsch.
zu d) Nimm n-1 unabhängige Vektoren und füge als letzten den Nullvektor dazu --> jetzt sind die n Vektoren abhängig.
Streiche den Nullvektor wieder ....
Zu e fällt dir jetzt sicher auch was ein....
Gruß Abakus
>
> f.) stimmt
>
> Dann stimmt ja alles,stimmt das?
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Dann hab ich mich grad mal an noch ein paar Aussagen
> > versucht.
> >
> > b.) Würd ich sagen ist richtig.
> >
> > c.) stimmt auch
> >
> > d.) stimmt ebenfalls
> >
> > e.) stimmt
> d und e sind falsch.
> zu d) Nimm n-1 unabhängige Vektoren und füge als letzten
> den Nullvektor dazu --> jetzt sind die n Vektoren
> abhängig.
> Streiche den Nullvektor wieder ....
>
> Zu e fällt dir jetzt sicher auch was ein....
Könnte man zu e.) sagen,dass wenn man zu n linear unabhängigen Vektoren den Gegenvektor eines Vektors hinzufügt,dass die n+1 Vektoren dann linear abhängig sind?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
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> > > Dann hab ich mich grad mal an noch ein paar Aussagen
> > > versucht.
> > >
> > > b.) Würd ich sagen ist richtig.
> > >
> > > c.) stimmt auch
> > >
> > > d.) stimmt ebenfalls
> > >
> > > e.) stimmt
> > d und e sind falsch.
> > zu d) Nimm n-1 unabhängige Vektoren und füge als
> letzten
> > den Nullvektor dazu --> jetzt sind die n Vektoren
> > abhängig.
> > Streiche den Nullvektor wieder ....
> >
> > Zu e fällt dir jetzt sicher auch was ein....
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> Könnte man zu e.) sagen,dass wenn man zu n linear
> unabhängigen Vektoren den Gegenvektor eines Vektors
> hinzufügt,dass die n+1 Vektoren dann linear abhängig sind?
Ich hätte wieder den Nullvektor hinzugenommen, aber deine Idee finde ich noch besser.
Gruß Abakus
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> lg
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