Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einer Umfrage an einer Schule gaben 31% der Schüler an, dass sie mindestens einen Bruder haben, 30% mindestens eine Schwester, 8% hatten sowohl mindestens einen Bruder als auch mindestens eine Schwester.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ei
ne zufällig ausgewählte Person weder
Bruder noch Schwester hat, also ein Einzelkind ist? |
Ich hole gerade mein Abitur nach,in Mathe hatte ich leider schon immer diverse Schwierigkeiten.
Ich habe die oben genannte Aufgabe zu lösen und zwar wie folgt:
p(kein Einzelkind)=p(23%) + p(22%) + p(8%) =53%
Kann das stimmen?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bei einer Umfrage an einer Schule gaben 31% der Schüler
> an, dass sie mindestens einen Bruder haben, 30% mindestens
> eine Schwester, 8% hatten sowohl mindestens einen Bruder
> als auch mindestens eine Schwester.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ei
> ne zufällig ausgewählte Person weder
> Bruder noch Schwester hat, also ein Einzelkind ist?
> Ich habe die oben genannte Aufgabe zu lösen und zwar wie
> folgt:
>
> p(kein Einzelkind)=p(23%) + p(22%) + p(8%) =53%
>
> Kann das stimmen?
Nein. Und dein Denkfehler ist schnell aufgezeigt. Die 8%, die sowohl mindestens einen Bruder als auch mindestens eine Schwester haben, die sind ja in den beiden anderen Prozentsätzen schon enthalten. Wenn du sie addierst, dann hast du sie insgesamt dreifach in deiner Rechnung drin.
EDIT: ja, es stimmt, es ist nur auf einem unüblichen Weg gerechnet und völlig falsch notiert.
Der Schlüsselbegriff ist hier der sog. Additionssatz (für Wahrscheinlichkeiten), den solltest du in deinen Unterlagen finden und hier anwenden.
Dann ist dir hoffentlich auch klar, dass die so berechnete Wahrscheinlichkeit noch nicht die Antwort auf die obige Frage ist?
Gruß, Diophant
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Hallo,
Danke für die Antwort.
Wir haben diesen Additionssatz noch nicht bekommen.
Muss ich dann die 8% abziehen oder einfach ignorieren?
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Hallo,
> Hallo,
>
> Danke für die Antwort.
>
> Wir haben diesen Additionssatz noch nicht bekommen.
Nun, vielleicht ist die Aufgabe dazu da, sich in die dahinterliegende Problematik hineinzudenken.
>
> Muss ich dann die 8% abziehen oder einfach ignorieren?
>
Ersteres. Für zwei Ereignisse A und B gilt
[mm] P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})
[/mm]
Aber nochmal: wenn du das hier anwendest, hast du noch nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Ist dir klar, was dann noch zu tun ist?
Gruß, Diophant
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Nein.
Ich kann mich da leider nicht im geringsten reindenken :/
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Hallo,
> Nein.
> Ich kann mich da leider nicht im geringsten reindenken :/
Wenn wir die Formel
[mm] P({A}\cup{B})=P(A)+P(B)-P({A}\cap{B})
[/mm]
auf deine Aufgabe anwenden und folgende Bezeichnungen verwenden:
A: ein befragter Schüler hat mindestens einen Bruder
B: ein befragter Schüler hat mindestens eine Schwester
Beides schließt ja nicht aus, dass noch Geschwister anderen Geschlechts existieren.
So, jetzt machen wir das und die Rechnung heißt dann (wie du ja schon richtig vermutet hast):
[mm] P({A}\cup{B})=0.30+0.31-0.08=0.53
[/mm]
Da muss ich mich jetzt auch entschuldigen, weil deine Rechnung oben tatsächlich richtig war, ich hatte nicht auf die Zahlen geachtet wegen der unsinnigen Schreibweisen wie P(23%).
Also halten wir fest: deine Rechnung war richtig, sie war etwas um die Ecke gedacht (was ja aber nicht schlimm ist) aber sie war völlig falsch notiert.
Jetzt sind aber diese 53% die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand Geschwister hat. Was dich interessiert ist aber die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand keine Geschwister hat. Den Begriff Gegenereignis solltest du kennen, falls nicht schlage ihn bitte nach. Damit kommst du vollends zur Lösung.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mi 10.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> 100-53?
Falsch geschrieben aber möglicherweise richtig gemeint.
RMix
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Das Problem besteht darin das wir diese Aufgaben folgedessen Schreibweisen noch nicht durchgenommen haben.
Ich werde es erstmal aufschreiben wie ich meine und gebe es zunächst so ab.
Vielen Dank für die Hilfe!!!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Do 11.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Das Problem besteht darin das wir diese Aufgaben
> folgedessen Schreibweisen noch nicht durchgenommen haben.
>
Ich meinte deine Extrem-Kurzfrage
> 100-53?
welche in keiner Weise erkennen lässt, worauf sie sich bezieht und worin sie eigentlich besteht. Ich vermutetet, dass es nicht darum ging, dass du nicht weißt, wie man 100-53 berechnet.
Außerdem, wenn es weiterhin um Wahrscheinlichkeiten gehen sollte, dann sind Zahlen, welche größer als 1 sind eher unpassend.
Also dann doch eher 100%-53% oder 1-0.53.
Und wenn du dann noch angibst, was du meinst damit zu berechnen, dann wirds schon OK werden.
RMix
PS: Für Kommunikation dieser Art ist es sinnvoller, Mitteilungen anstelle von Fragen/Antworten zu senden. Ich antworte hier aber trotzdem, da sonst der Thread als unbeantwortet markiert bleibt.
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Ich habe jetzt das Netz durchwühlt um es Ansatzweise zu verstehen aber da wir einfach noch nichts durchgenommen haben und ich keine anderen Materialien als diese Aufgaben habe komme ich einfach nicht weiter.
Ich weiss überhaupt nicht wie ich irgendwas schreiben soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Do 11.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ein gut gemeinter Rat:
- schreibe nur Dinge, deren Sinn du so verinnerlicht hast, dass du ihn mühelos verbal formulieren kannst. Dies wird dir sicherlich für so etwas wie P(23%) nicht gelingen aus dem einfachen Grund, weil es niemand gelingt.
- besorge dir geeignete Lektüre. Mathematik lernt man nicht durch Rechnen, sondern es ist genau umgekehrt!
Dein oben angedeuteter richtiger Gedankengang ließe sich bspw. so notieren (mit A, B wie oben verwendet):
[mm] P\left(\overline{{A}\cup{B}}\right)=1-P\left({A}\cup{B}\right)=1-0.53=0.47
[/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nein.
> Ich kann mich da leider nicht im geringsten reindenken :/
zu
$P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Das kann man sich schön mit Mengen veranschaulichen. Zeichne Dir zwei
Mengen [mm] $A\,,B$ [/mm] hin, deren Schnitt nicht leer ist.
Wenn Du $P(A)+P(B)$ rechnest, dann wird $P(A [mm] \cap [/mm] B)$ sowohl in [mm] $P(A)\,$ [/mm] als
auch in $P(B)$ "mit drinstecken". Beim Vergleich von $P(A [mm] \cup [/mm] B)$ mit $P(A)+P(B)$ steckt
in der letzten Summe also einmal $P(A [mm] \cap [/mm] B)$ zuviel mit drin.
Ein besseres Beispiel (was so noch nicht ganz passt, aber zumindest eine
Analogie aufweist):
Nehmen wir an, Du kennst zwei Mengen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] und Du willst die Anzahl
der Elemente aus $A [mm] \cup [/mm] B$ berechnen.
Wir machen es mal konkret:
[mm] $A:=\{1,3,7,9\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{2,3,4,7,8,10,11\}$
[/mm]
Dann ist
$|A|$ (das ist ein Symbol für die Anzahl der Elemente aus [mm] $A\,$) [/mm] gerade [mm] $=4\,$
[/mm]
und
[mm] $|B|=7\,.$
[/mm]
Jetzt beachte:
[mm] $A=\{1,\red{3},\red{7},9\}$
[/mm]
vereinigt mit
[mm] $B:=\{2,\red{3},4,\red{7},8,10,11\}$
[/mm]
ergibt
$A [mm] \cup B=\{1,2,\red{3},4,\red{7},8,9,10,11\}$
[/mm]
Die roten Elemente werden in $A [mm] \cup [/mm] B$ aber nur EINMAL gezählt, weil sie
in $A [mm] \cap [/mm] B$ gelegen waren.
Du siehst:
$|A [mm] \cup [/mm] B|=9 [mm] \not=|A|+|B|=4+7=11\,.$
[/mm]
Du siehst aber auch:
$4+7-2=9=|A [mm] \cup B|\,.$
[/mm]
Beachte dabei: $|A [mm] \cap B|=|\{\red{3},\red{7}\}|=2\,.$
[/mm]
Nebenbei: Wenn Du die Additionsformel für disjunkte Ereignisse kennst,
dann würde man
$P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)$
anders herleiten (oben das ist ja auch mehr eine Plausibilitätsbegründung
denn ein Beweis):
Man würde etwa
$A [mm] \cup [/mm] B=(A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B))$
benutzen wollen, nachdem man sich zuvor klargemacht hat:
$A=(A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Die Vereinigungen jeweils rechterhand sind nämlich "disjunkte Vereinigungen".
Vielleicht kann hier der ein oder andere Lehrer auch noch schöne (Unterrichts-)
Materialien mit entsprechenden "Bildchen" verlinken.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 11.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Vielleicht kann hier der ein oder andere Lehrer auch noch
> schöne (Unterrichts-)
> Materialien mit entsprechenden "Bildchen" verlinken.
Ich bin kein Lehrer, aber ich finde ![[]](/images/popup.gif) das hier ganz gut.
Gruß
DieAcht
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Gibt es gut verständliche Lektüren die zu empfehlen sind?
Die ganze Klasse hat enorme Schwierigkeiten dem Lehrer zu folgen daher gibt es da eher weniger Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gibt es gut verständliche Lektüren die zu empfehlen sind?
verständlich ist immer eine zweiseitge Angelegenheit: Es kommt drauf an,
an welche Leserschaft sich jemand wendet.
Ich finde, dass man
Wahrscheinlickeitsrechnung und schließende Statistik von Bourier
ganz schnell lesen kann. Das ist auch mathematisch immer etwas *larifari*.
Dennoch befürchte ich, dass es Dich/Euch schon überfordern könnte.
> Die ganze Klasse hat enorme Schwierigkeiten dem Lehrer zu
> folgen daher gibt es da eher weniger Hilfe
Eigentlich warte ich mal auf M.Rex. Der hat eigentlich oft was in einer seiner
Schubladen, und er ist als Lehrer auch pädagogisch geschulter, um besser
bewerten zu können, was für Schüler geeignet ist.
Deswegen: das oben genannte Buch ist zwar nicht teuer (man findet es
schon ab 7 Euro, wenn man richtig sucht), aber es wäre zu teuer, um es
nur in die Ecke zu legen. Und außerdem sollst Du ja nicht gefrustet werden...
Gruß,
Marcel
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Das hat mir sehr geholfen,ich verstehe jetzt um einiges besser,vielen Dank!!!
Ich schreibe -P(A [mm] \cap [/mm] B) weil in meinem Beispiel die 8% in beiden anderen % zahlen vorkommt?
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Hallo,
> Das hat mir sehr geholfen,ich verstehe jetzt um einiges
> besser,vielen Dank!!!
>
> Ich schreibe -P(A [mm]\cap[/mm] B) weil in meinem Beispiel die 8%
> in beiden anderen % zahlen vorkommt?
Genau so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und nochmals: dein ursprünglicher Gedankengang war ja auch richtig. Du hattest die 8% jeweils bei den Ereignissen mindestens ein Bruder und mindestens eine Schwester zunächst subtrahiert und danach wieder addiert.
Vielleicht fragst du dich jetzt, weshalb wir alle da sofort mit dieser ominösen Additionsregel daherkommen. Es ist ja so, dass die Mathematik stets bestrebt ist, möglichst allgemeingültig zu sein. Stell dir dazu mal vor, du machst eine Befragung über Fremdsprachenkenntnisse und frägst zum Beispiel Leute, ob sie Englisch, Französich oder Spanisch können. Dabei wird es wie in deiner Aufgabe zu Überschneidungen kommen, die dann im Fall von drei Ereignissen nicht mehr so einfach handhabbar sind und mit steigender Anzahl wird das immer schwieriger. Dazu wurde in der Kombinatorik die sog. Siebformel entwickelt (auf Wikipedia heißt das etwas anders). Und ein Spezialfall dieser Siebformel ist eben der Additionssatz für Ereignisse, so wie man ihn in der Schule lernt.
An anderer Stelle hast du nach geeigneter Lektüre gefragt. Schau mal, ob du irgendwie leihweise an das Buch
Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3 kommst. Das geht zwar dann über deine jetzigen Erfordernisse heraus, die Grundlagen von Stochastik und Kombinatorik sind darin aber sehr gut verständlich erklärt, das ist also für Schüler geeignet.
Gruß, Diophant
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Die Aufgabe konnte ich dann nun lösen.
Weitere folgen!!!
Top Forum,man kann hundert mal nachfragen und wir trotzdem super und ohne blöde Kommentare behandelt.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bei einer Umfrage an einer Schule gaben 31% der Schüler
> an, dass sie mindestens einen Bruder haben, 30% mindestens
> eine Schwester, 8% hatten sowohl mindestens einen Bruder
> als auch mindestens eine Schwester.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ei
> ne zufällig ausgewählte Person weder
> Bruder noch Schwester hat, also ein Einzelkind ist?
> Ich hole gerade mein Abitur nach,in Mathe hatte ich leider
> schon immer diverse Schwierigkeiten.
>
> Ich habe die oben genannte Aufgabe zu lösen und zwar wie
> folgt:
>
> p(kein Einzelkind)=p(23%) + p(22%) + p(8%) =53%
das, was Du gerechnet hast (was aber - wie schon gesagt wurde, so nicht
notiert wird), enthält fast die korrekten Gedanken:
Du sagst nämlich:
Man ist kein Einzelkind, wenn man genau einen der folgenden drei Fälle
erfüllt:
1. Die Anzahl der Brüder ist [mm] $\ge [/mm] 1$, aber man hat keine Schwester.
2. Die Anzahl der Schwestern ist [mm] $\ge [/mm] 1,$ aber man hat keinen Bruder.
3. Sowohl die Anzahl der Brüder ist [mm] $\ge [/mm] 1$ als auch die Anzahl der Schwestern ist [mm] $\ge 1\,.$
[/mm]
Für 1. berechnet sich die relative Häufigkeit hier zu
[mm] $31\%-8\%=23\%.$
[/mm]
Für 2. ist sie
[mm] $30\%-8\%=22\%\,.$
[/mm]
Für 3. lautet sie laut Aufgabe
[mm] $8\%\,.$
[/mm]
Die relative Häufigkeit von Schülern, die kein Einzelkind sind, beträgt also
$(23+22+8=53)$ Prozent.
Ein Einzelkind zu sein, ist das Gegenteil davon, keines zu sein. Also gehört
dazu die relative Häufigkeit von
[mm] $47\%\,.$
[/mm]
Nebenbei: Hier kannst Du Dir das alles wirklich sehr anschaulich vorstellen.
Nehmen wir an, Du hast genau 100 Schüler (warum wohl?). Du nimmst also
eine Menge mit 100 Elementen, nennen wir sie [mm] $S\,.$
[/mm]
Wie kannst Du Dir das Ganze nun "am Bild" klarmachen?
Tipp: Definiere Dir
[mm] $A:\,$ [/mm] Menge der Schüler mit [mm] $\ge [/mm] 1$ Bruder
[mm] $B:\,$ [/mm] Menge der Schüler mit [mm] $\ge [/mm] 1$ Schwester
Was ist
$A [mm] \setminus [/mm] B$ in Worten?
$B [mm] \setminus [/mm] A$ in Worten?
$A [mm] \cap [/mm] B$ in Worten?
$A [mm] \cup [/mm] B$ in Worten?
Gruß,
Marcel
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