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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 16.05.2006 | | Autor: | Katya |
| Aufgabe | Ein Statistiker und eine Linguistin entschlie¼en sich zu einem Experiment:
Sie wollen sechs Kinder. NatÄurlich mÄochten sie gerne einigeWahrscheinlichkeiten
fÄur den Ausgang dieses Experimentes wissen.
b) Die ersten vier Kinder sind MÄadchen, die letzten zwei Jungen
Nehmen wir der Einfachkeit halber an, die Verteilung des Merkmals Jun-
ge/MÄadchen auf alle Kinder ergÄabe einen LaplaceschenWahscheinlichkeitsraum.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten fÄur folgende Ereignisse: |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie sollte man die Formel für die Binominalverteilung erweitern so, dass man auch die Lösung für eine bestimmte Reihenfolge bekommen kann
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Di 16.05.2006 | | Autor: | Disap |
Servus Katya.
> Ein Statistiker und eine Linguistin entschlie¼en sich zu
> einem Experiment:
> Sie wollen sechs Kinder. NatÄurlich mÄochten sie gerne
> einigeWahrscheinlichkeiten
> fÄur den Ausgang dieses Experimentes wissen.
> b) Die ersten vier Kinder sind MÄadchen, die letzten zwei
> Jungen
> Nehmen wir der Einfachkeit halber an, die Verteilung des
> Merkmals Jun-
> ge/MÄadchen auf alle Kinder ergÄabe einen
> LaplaceschenWahscheinlichkeitsraum.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten fÄur folgende
> Ereignisse:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Da wir nun eine feste Reihenfolge haben, kann man das hier nicht mehr über den Bernoulli-Versuch zu lösen.
> Wie sollte man die Formel für die Binominalverteilung
> erweitern so, dass man auch die Lösung für eine bestimmte
> Reihenfolge bekommen kann
Was mir persoenlich immer hilft, ist das 'Ereignis', was wir suchen, einmal auf zu schreiben:
E = {(Maedchen, Maedchen, Maedchen, Maedchen, Junge, Junge) }
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Maedchen geboren wird:
[mm] p_M [/mm] = 0.5
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge geboren wird:
[mm] p_J [/mm] = 0.5
Wichtig zu wissen ist hierbei, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht aendern, da die Wahrscheinlichkeit immer 0.5 ist, dass ein Maedchen geboren wird = Fall geordnete Stichprobenziehung mit Zuruecklegen (genau wie beim Wuerfel)
Fuer unseren gesuchten Fall: "Maedchen, Maedchen, Maedchen, Maedchen, Junge, Junge " ergibt sich unsere Wahrscheinlichkeit
p("erst vier Maedchen, dann zwei Jungen") = [mm] $p_M*p_M*p_M*p_M*p_J*p_J$
[/mm]
Witzigerweise ergibt das auch [mm] 0.5^6.
[/mm]
> Danke
Alles klar?
Viele Gruesse aus Norddeutschland
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:12 Di 16.05.2006 | | Autor: | Katya |
Heisst das, hätte ich die Aufgabenstellung, wo es erstmal 5 Mädchen und dann ein Junge, oder erst 3 Mädchen und dann ein Junge sein sollte, dass ich trotzdem noch als Ergebnis [mm] 0,5^{6} [/mm] kriegen würde? Merkwürdig...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 16.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Heisst das, hätte ich die Aufgabenstellung, wo es erstmal 5
> Mädchen und dann ein Junge, oder erst 3 Mädchen und dann
> ein Junge sein sollte, dass ich trotzdem noch als Ergebnis
> [mm]0,5^{6}[/mm] kriegen würde? Merkwürdig...
Ja, genauso ist es.
Dazu muss man sagen, um es halbwegs korrekt zu machen, dass zum einen die Geburtenrate der Frauen irgendetwas mit 49,XX% und die der Jungs dann 50,XX% betraegt. Das als biologischer Hintergrund. Dann wuerde es die Wahrscheinlichkeit staerker beeinflussen, dass nun 6 Jungen geboren werden oder 6 Maedchen. Und zum Anderen kannst du dir das mit der Reihenfolge an Hand eines Baumdiagramms verdeutlichen.
Nehmen wir mal das Beispiel:
[mm] E_1 [/mm] = (Junge, Junge, Maedchen, Junge, Maedchen, Junge)
Dieses Ereignis [mm] E_1 [/mm] hat die selbe Wahrscheinlichkeit wie:
[mm] E_2 [/mm] = (Maedchen, Maedchen, Junge, Junge, Junge, Junge)
Malst du dir ein Baumdiagramm, dann siehst du, dass die (zweite?) Pfadregel gilt. So genau habe ich das jetzt nicht im Kopf, ob es die zweite ist - ich meine jedenfalls die Regel, bei der man die Wahrscheinlichkeiten miteiander multipliziert.
Gehen wir mal (zum besseren Deutlichkeit davon aus, dass ein Junge zu 60% geboren wird => ein Maedchen zu 40%)
Dann ergibt sich fuer:
[mm] E_1 [/mm] = (Junge, Junge, Maedchen, Junge, Maedchen, Junge)
[mm] p(E_1) [/mm] = [mm] $0.6\cdot0.6\cdot0.4\cdot0.6\cdot0.4\cdot0.6$
[/mm]
Fuer unser zweites Ereignis [mm] E_2 [/mm] = (Maedchen, Maedchen, Junge, Junge, Junge, Junge) ergibt sich die Wahrscheinlichkeit:
[mm] p(E_2) [/mm] = [mm] $0.4\cdot0.4\cdot0.6\cdot0.6\cdot0.6\cdot0.6$
[/mm]
Da wir bei [mm] E_1 [/mm] ein Produkt haben, koennen wir den Faktor ja an beliebige Stelle setzen, d. h. [mm] $0.6\cdot0.6\cdot0.4\cdot0.6\cdot0.4\cdot0.6$ [/mm] liesse sich auch als [mm] $0.4\cdot0.4\cdot0.6\cdot0.6\cdot0.6\cdot0.6$ [/mm] schreiben.
Nur wenn die Wahrscheinlichkeit 0.5 ist, kann man sofort auf [mm] 0.5^6 [/mm] schliessen. Das wuerde sich auch sicherlich zeigen lassen, wenn man ein (endlos) langes Baumdiagramm zeichnet und dann ALLE Moeglichkeiten (und es gibt da schon ein paar  ) zusammenaddiert.
Ich hoffe, das macht es etwas klarer?
Liebe Gruesse
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Di 16.05.2006 | | Autor: | Katya |
Danke erstmal. Ich denke, dass ich das zum Teil verstanden hab. Das mit den Bäumen hab ich in Statistik nie gemacht, das könnte aber vielleicht zur aussagenlogik ähnlich sein, wo man immer Pfade hat, einen für falsch und einen für richtig. Vielleicht probiere ich das noch. Auf jeden Fall danke für die detaillierte Antwort.
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