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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:27 So 10.08.2014
Autor: Gianni

Aufgabe

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 200maligem Werfen einer Münze genau einmal den Kopf sechmal in Folge zu werfen?



Ich habe diese Aufgabenstellung (mit Lösung, angeblich 0,8) in einem Buch gelesen. Nun bin ich zwar kein Mathematiker, aber der Lösungsweg dieses Problems hätte mich dennoch interessiert. Bin mit Bernoulli und herkömmlichen Kombinatorikformeln leider nicht auf die Lösung gekommen. Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!  
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 So 10.08.2014
Autor: Diophant

Hallo,

das ist ein durchaus anspruchsvolles Problem. Der Lösungsweg läuft grob gesprochen so, dass man mit

[mm] P=\bruch{\mbox{Anzahl guenstige Faelle}}{\mbox{Anzahl moegliche Faelle}} [/mm]

ansetzt. Der Nenner dürfte mit [mm] 2^{200} [/mm] ja klar sein? Im Zähler muss man jetzt zwei Dinge bedenken: dass die Sechser-Serie an 195 Positionen beginnen kann, und dass bei den restlichen Würfen eine solche Serie nicht mehr auftreten darf. Dies führt m.A. auf das Problem nichtleerer Mengenpartitionen. Sagt dir das etwas bzw. hilft es dir schon weiter?

PS: zum einen habe ich deine Frage etwas nacheditiert, da offensichtlich unser Formeleditor mal wieder mit falschen HTML-Tags zugeschlagen hat. Ich hoffe, das ist so ok für dich?

Dann muss ich sagen, dass ich die Lösung 0.8 im Sinne von 80% für viel zu hoch halte. Kann es sein, dass das 0.8% sein sollen?


Gruß, Diophant

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Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:41 So 10.08.2014
Autor: Gianni

Aufgabe
<br>
 


<br>Also erstmals vielen Dank für die Antwort!Zuallerst, 0,8 ist definitiv falsch, bezog sich auch auf eine etwas andere Aufgabenstellung, das war mein Versehen, sorry!

Ich hatte den gleichen Ansatz wie du, auch mit den 195 Positionen, allerdings dann kam ich nicht mehr weiter. Es darf ja dann auch unmittelbar vor bzw. nach dem Auftreten der Folge nicht mehr Kopf geworfen werden. Somit sind dann m.E. nur mehr 193 Positionen frei besetzbar (außer, die Folge steht ganz am Anfang oder am Ende), wo diese Folge allerdings auch nicht mehr auftreten darf.Nichtleere Mengenpartitionen sagen mir nichts, habe es gerade gegoogelt und weiß nun in etwa, worauf es hinausläuft. 

Jedenfalls hat es mich schon beruhigt, dass du es als nicht triviales Problem beschrieben hast :-)!

Beste Grüße Gianni



 

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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 So 10.08.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Zuallerst,
> 0,8 ist definitiv falsch, bezog sich auch auf eine etwas
> andere Aufgabenstellung, das war mein Versehen, sorry!

>

> Ich hatte den gleichen Ansatz wie du, auch mit den 195
> Positionen, allerdings dann kam ich nicht mehr weiter. Es
> darf ja dann auch unmittelbar vor bzw. nach dem Auftreten
> der Folge nicht mehr Kopf geworfen werden. Somit sind dann
> m.E. nur mehr 193 Positionen frei besetzbar (außer, die
> Folge steht ganz am Anfang oder am Ende), wo diese Folge
> allerdings auch nicht mehr auftreten darf.Nichtleere
> Mengenpartitionen sagen mir nichts, habe es gerade
> gegoogelt und weiß nun in etwa, worauf es hinausläuft. 

>

> Jedenfalls hat es mich schon beruhigt, dass du es als nicht
> triviales Problem beschrieben hast :-)!

>

> Beste Grüße Gianni

Ok. Ich würde mal vorschlagen (da du hier eigentlich keine neue Frage forumuliert hast), dass wir mal abwarten, ob auf die Ausgangsfrage noch eine weitere Antwort kommt. Mich selbst interessiert das Problem auch, ich habe aber (entgegen meiner Vermutung heute Morgen) heute nicht die Zeit, mich ausführlich damit zu beschäftigen. Falls mir noch was einfallen solte, dann werde ich aber auf obige Mitteilung nochmals eingehen.

Grüße & schönen Sonntag, Diophant

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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Quelle
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:15 So 10.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 200maligem Werfen
> einer Münze genau einmal den Kopf sechsmal in Folge zu
> werfen?


> Ich habe diese Aufgabenstellung (.......) in einem Buch gelesen.



Hallo Gianni,

da es vermutlich auch hier im Matheraum nur wenige gibt,
die ein derartiges Problem so aus dem Stand lösen können,
wäre es wohl sinnvoll, wenn du uns deine Quelle, also das
Buch angeben würdest, in dem du auch eine Lösung
gesehen hast. Dann kann dir vermutlich jemand wenigstens
beim Verstehen der dortigen Lösung helfen.

(Bemerkung: Damit möchte ich keinen vergraulen, der jetzt
daran ist, eine eigenständige Lösung zu entwickeln - man
kann ja die angegebene Quelle immer noch ignorieren).

LG ,   Al-Chwarizmi


Inzwischen habe ich selber eine Arbeit gefunden, auf deren
Basis man die vorliegende Aufgabe lösen kann, nämlich
ein PDF "The Longest Run Of Heads" von Mark F. Schilling
von der California State University. Was dann resultiert,
ist nicht eine ganz simple Formel, sondern eine, bei der
man (mit Hilfe des Computers) Summen von Produkten
von rekursiv berechneten Summen berechnen muss ...



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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 So 10.08.2014
Autor: luis52

Moin,

deine Frage stammt aus der Theorie der Iterationen (runs), wie Al schon schrieb. Vielleicht kannst du []hier etwas Honig saugen.

Woher stammt die Aufgabe?

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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:11 Mi 13.08.2014
Autor: Gianni

Hallo Luis!

Vielen Dank auch dir für den Beitrag! Da muss ich mich jetzt erst durcharbeiten...

Beste Grüße
Gianni

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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 So 10.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 200maligem Werfen
> einer Münze genau einmal den Kopf sechmal in Folge zu
> werfen?</b>


Hallo,

ich habe mir nun mal das Paper "The Longest Run of Heads"
von Mark F. Schilling vorgenommen und bin daran, das Ganze
soweit aufzubereiten, dass ich am Schluss weiß, wie ich den
Computer dazu bringen kann, mir die gesuchte Wahrscheinlichkeit
zu berechnen.

Schilling bezeichnet die Anzahl der Münzwurfserien der Länge n,
in denen der längste "Heads-Run" (lauter Kopfwürfe hinterein-
ander) nicht länger als x ist, mit [mm] A_n(x). [/mm] So ist beispielsweise
[mm] A_5(3) [/mm] = 29 , weil es genau 29 Wurfserien aus 5 Würfen gibt,
bei welchen höchstens Dreier-Head-Runs, aber eben keine
Head-Runs aus 4 oder gar 5 Würfen vorkommen. Dies kann
man sich leicht klar machen.     Tipp:  [mm] 2^5-2-1=29 [/mm]

Bei der vorliegenden Frage mit der Serie von 200 Würfen, in
denen exakt ein Head-Run der Länge 6 vorkommen soll (also
insbesondere auch kein längerer Head-Run, weil man in
einem solchen ja mehr als einen 6-er-Run lokalisieren
könnte), kann man sich nun Folgendes überlegen:

1.) Die gesamte Anzahl aller Möglichkeiten, bezeichnen wir
sie mit M , ist   $\ M\ =\ [mm] 2^{200}$ [/mm]  (also eine Riesenzahl ...)

2.) Die "günstigen" Möglichkeiten (ihre gesamte Anzahl sei G)
können wir einteilen in folgende Gruppen:

a1) diejenigen, die mit "KKKKKKZ" beginnen und anschließend
eine Folge von weiteren 200-7=193 Würfen enthalten, in welchen
aber höchstens noch ein 5-er-Head-Run vorkommen darf

a2) diejenigen, die mit "ZKKKKKK" enden und davor eine
Folge von weiteren 200-7=193 Würfen enthalten, in welchen
aber höchstens noch ein 5-er-Head-Run vorkommen darf

b) alle übrigen, welche genau an einer Stelle die Subsequenz
"ZKKKKKKZ" enthalten, welche vorne und hinten ergänzt wird
durch jeweils eine Sequenz mit Head-Runs, deren Länge 5
nicht überschreitet. Da die Subsequenz "ZKKKKKKZ" genau 8
Stellen hat, bleiben noch 200-8=192 Stellen zu verteilen,
sagen wir k Stellen vorne dran und folglich 192-k Stellen
dahinter. Dabei kann man sich jeweils für die vordere und die
hintere Ergänzung was beliebiges aus den zur Verfügung
stehenden Möglichkeiten (stets ohne Head-Runs mit Längen
größer als 5) auswählen.
Bei dieser Betrachtung kann k alle ganzzahligen Werte von
0 bis 192 annehmen. Man beachte, dass die "Randfälle" mit
k=0 bzw. k=192 kein Problem darstellen wegen [mm] A_0(x)=2^0=1 [/mm] !

Aufgrund dieser Überlegungen komme ich zur Formel:

   $\ G\ =\ [mm] 2*A_{193}(5)\ [/mm] +\ [mm] \summe_{k=0}^{192}A_k(5)*A_{192-k}(5)$ [/mm]

Wegen der offensichtlichen Symmetrie kann man dies, um
dem Computer so etwa die Hälfte seiner Rechenarbeit zu
ersparen, auch so schreiben:

   $\ G\ =\ [mm] 2*\left(A_{193}(5)\ +\ \summe_{k=0}^{95}A_k(5)*A_{192-k}(5)\right)\ [/mm] +\ [mm] \left[A_{96}(5)\right]^2$ [/mm]

Jetzt bleibt natürlich noch, die einzelnen Summanden bzw.
die Werte der [mm] A_n(x) [/mm] wirklich zu berechnen. Das Rezept dazu
ist:

    $\ [mm] A_n(x)\ [/mm] =\ \  [mm] \begin{cases} 2^n & \quad falls\quad n\le x \\ \summe_{j=0}^{x}A_{n-1-j}(x) \quad & \ \ \ \ falls\quad n>x \end{cases}$ [/mm]

Diese Formeln möchte ich nun hier aber nicht etwa auch
noch erläutern, sondern dazu einfach auf das Paper
verweisen, wo ich sie gefunden habe.

So, und nun bin ich gespannt, ob mein Computer es auch
wirklich schaffen wird, die Formeln zu verdauen und anzuwenden.
Mit "normaler" Rechensoftware könnte dies - so befürchte ich
wenigstens - ziemlich arge Probleme geben, denn die Zahlen-
werte, mit denen da jongliert werden muss, sind ja schlicht
astronomisch ...

LG ,   Al-Chwarizmi





  

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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: einfacher als befürchtet
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:35 Mo 11.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> > Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 200maligem Werfen
> > einer Münze genau einmal den Kopf sechmal in Folge zu
> > werfen?


> [mm]\ G\ =\ 2*A_{193}(5)\ +\ \summe_{k=0}^{192}A_k(5)*A_{192-k}(5)[/mm]
>  
> Wegen der offensichtlichen Symmetrie kann man dies, um
>  dem Computer so etwa die Hälfte seiner Rechenarbeit zu
>  ersparen, auch so schreiben:
>  
> [mm]\ G\ =\ 2*\left(A_{193}(5)\ +\ \summe_{k=0}^{95}A_k(5)*A_{192-k}(5)\right)\ +\ \left[A_{96}(5)\right]^2[/mm]


Nach ein paar weiteren Überlegungen hat sich gezeigt,
dass alles doch gar nicht so schlimm aussieht für die
Berechnungen. Dies liegt insbesondere daran, dass wir
ja die Werte der [mm] A_n(x) [/mm] nur für x=5 benötigen und dass
die Rekursion auch gar nicht auf Elemente mit anderen
Werten von x zurückgreift. Die Zahlenfolge [mm] [/mm]  mit

       $\ [mm] a_n:=A_n(5)$ [/mm]  

kann sogar recht einfach rekursiv berechnet werden. Die
Folge wird mit ein paar reinen Zweierpotenzen gestartet
und dann nach einer Rekursionsformel analog zur Fibonacci-
Regel fortgesetzt. Dabei werden aber jeweils nicht nur 2
Vorgängerglieder addiert, um das nächstfolgende Glied
zu erhalten, sondern jeweils deren 6 . So fängt die Folge
an:

    $\ a\ =\ [mm] <\,1,2,4,8,16,32,63,125,248,492,976,\,.....\,>$ [/mm]

(Hinweis: das Startglied mit dem Wert [mm] 2^0=1 [/mm] ist das Glied [mm] a_0 [/mm] !)

So wird das Problem doch endlich so handhabbar, dass ich
kaum mehr als meinen CAS-Taschenrechner in Betrieb
nehmen muss, um nun auch noch zu den zahlenmässigen
Ergebnissen zu kommen.

Das (korrigierte) Ergebnis meines Taschenrechners:  

      $\ G\ [mm] \approx\ 2.717*10^{59}$ [/mm]

      $\ M\ =\ [mm] 2^{200}\ \approx\ 1.607*10^{60}$ [/mm]

      $\ p\ =\ [mm] \frac{G}{M} \approx\ [/mm] 0.169$

Das sieht (intuitiv betrachtet) besser aus als mein
zuerst angegebenes Ergebnis. Ein Wert von fast 0.8
wäre doch sehr erstaunlich gewesen. Da ich mir aber
immer noch nicht so recht sicher bin, folgt nun der
nächste Schritt, der Gewissheit bringen sollte,
nämlich die experimentelle Überprüfung dieses
Ergebnisses durch eine Computersimulation.

LG ,   Al-Chwarizmi

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Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 Sa 16.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


>  Nach ein paar weiteren Überlegungen hat sich gezeigt,
>  dass alles doch gar nicht so schlimm aussieht für die
>  Berechnungen. Dies liegt insbesondere daran, dass wir
>  ja die Werte der [mm]A_n(x)[/mm] nur für x=5 benötigen und dass
>  die Rekursion auch gar nicht auf Elemente mit anderen
>  Werten von x zurückgreift. Die Zahlenfolge [mm][/mm]  mit
>  
>      [mm]\ a_n:=A_n(5)[/mm]  
>
>  kann sogar recht einfach rekursiv berechnet werden. Die
>  Folge wird mit ein paar reinen Zweierpotenzen gestartet
>  und dann nach einer Rekursionsformel analog zur
>  Fibonacci-Regel fortgesetzt. Dabei werden aber jeweils
>  nicht nur 2 Vorgängerglieder addiert, um das nächst-
>  folgende Glied zu erhalten, sondern jeweils deren 6 .
>  So fängt die Folge an:
>  
>      [mm]\ a\ =\ <\,1,2,4,8,16,32,63,125,248,492,976,\,.....\,>[/mm]
>  
> (Hinweis: das Startglied mit dem Wert [mm]2^0=1[/mm] ist das Glied
> [mm]a_0[/mm] !)




Bemerkungen:

Gerade habe ich noch gelernt, dass diese Art von Zahlenfolge
schon einen Namen hat: Es ist eine []"Hexanacci-Folge"
(Auf den Namen wäre ich wohl auch gekommen, wenn es
mir ein Anliegen gewesen wäre, die Folge zu benennen.
Allerdings sollten dann die eigentlichen Fibonaccifolgen
wohl zu "Dibonaccifolgen" umbezeichnet werden ...   ;-))


Noch eine weitere Eigenschaft dieser Folge:

Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl in Summanden zwischen
1 und 6 zu zerlegen sind für die ersten 20 natürlichen Zahlen:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617,
15109, 29970, 59448, 117920, 233904, 463968.     ([]Quelle)

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Lösung bestätigt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Mo 11.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


>
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 200maligem Werfen
> einer Münze genau einmal den Kopf sechmal in Folge zu
> werfen?

>  
>
> Ich habe diese Aufgabenstellung (mit Lösung, angeblich
> 0,8) in einem Buch gelesen.



Hallo Gianni,

mit der Überschrift "Lösung bestätigt" meine ich nicht,
dass die angebliche Lösung aus dem Buch bestätigt
werden kann. Im Gegenteil, die Lösung von 0.8 (oder
auch nur so ungefähr 0.8) ist ganz bestimmt falsch !

Mit Hilfe einer Computersimulation (deren Programmierung
eine Übung auf ziemlich elementarem Niveau darstellte)
konnte ich bestätigen, dass die theoretische Lösung,
welche ich in meinen anderen Beiträgen in diesem Thread
ausführlich erläutert habe, mit hoher Wahrscheinlichkeit
richtig sein muss. Für den theoretischen exakten Wert der
gesuchten Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Serie
von 200 Würfen mit einer fairen Münze exakt ein
einziger Sechser-Head-Run auftritt, hat sich ein Wert
von  0.169068....  ergeben.
In zwei Serien zu je 100000 Serien à 200 durch Zufalls-
zahlen simulierten Würfen haben sich das eine Mal
16933, das andere Mal 16895 Serien mit genau einem
Sechser-Head-Run ergeben, was relativen Häufigkeiten
von 0.16933 bzw. 0.16895  entspricht. Diese Werte liegen
sehr nahe bei dem theoretisch berechneten Wert. Dies
bestärkt mich darin, meinen Rechnungen zu vertrauen.

Ja übrigens, Gianni:  du hast uns immer noch nicht
verraten, aus welchem Buch du denn die Aufgabe
(und das offensichtlich falsche Resultat) hattest.
Kannst du uns dies bitte noch angeben ?
Im Übrigen danke ich dir für die Frage, die mich so
richtig angesprochen und auch ein Stück weit heraus-
gefordert hat. Ich habe daran auch ein paar sehr
interessante und auch überraschende Aspekte
entdeckt - und ich hoffe, dass einiges davon bei der
Lektüre meiner Antworten auch andere packen kann ...

LG ,    Al-Chwarizmi



Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Mo 11.08.2014
Autor: abakus


> Im Übrigen danke ich dir für die Frage, die mich so
> richtig angesprochen und auch ein Stück weit heraus-
> gefordert hat. Ich habe daran auch ein paar sehr
> interessante und auch überraschende Aspekte
> entdeckt - und ich hoffe, dass einiges davon bei der
> Lektüre meiner Antworten auch andere packen kann ...

>

> LG , Al-Chwarizmi

>
>
Hallo Al,
du hast mich immerhin dazu gebracht, eine "Light"-Simulation (nur 100 Serien á 200 Würfe) mit Excel zu probieren. 
100 ist zwar eine kleine Anzahl, lässt sich aber mit "F9" schnell wiederholen.
Die relativen Häufigkeiten schwanken um 0,16 herum, wobei ich Werte zwischen 0,09 und 0,27 erzielen konnte.
Gruß Abakus

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Mo 11.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


>  Hallo Al,
>  du hast mich immerhin dazu gebracht, eine
> "Light"-Simulation (nur 100 Serien á 200 Würfe) mit Excel
> zu probieren. 
>  100 ist zwar eine kleine Anzahl, lässt sich aber mit "F9"
> schnell wiederholen.
>  Die relativen Häufigkeiten schwanken um 0,16 herum, wobei
> ich Werte zwischen 0,09 und 0,27 erzielen konnte.
>  Gruß Abakus


Hallo Abakus,

also die Größenordnung scheint jedenfalls zu passen. Hast
Du auch meine theoretischen Berechnungen durchgesehen ?
Für mich war immerhin überraschend, dass man die
$\ [mm] a_n\ [/mm] =\ [mm] A_n(5)$ [/mm] doch eigentlich spielend leicht in Fibonacci-Manier
berechnen kann.

Schönen Abend !  

Al  


Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mo 11.08.2014
Autor: rmix22


>
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 200maligem Werfen
> einer Münze genau einmal den Kopf sechmal in Folge zu
> werfen?

>  
>
> Ich habe diese Aufgabenstellung (mit Lösung, angeblich
> 0,8) in einem Buch gelesen.

In der Tat eine interessante Aufgabenstellung, vor allem weil sie in der Formulierung so harmlos daher kommt und sich dann als alles andere als trivial herausstellt.

Die Lösung für die Formulierung, wie du sie gewählt hast, hat ja schon Al-Chwarizmi präsentiert (16,9 %), aber die von dir genannten 0,8 sind auch nicht so daneben. Die Lösung für die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, mindestens einen 6er Run zu haben, beträgt nämlich stolze 80,1 %! Die Berechnung kann mit einem CAS relativ bequem nach der ersten Formel des Artikels, auf den luis52 verwiesen hatte (Wolfram), berechnet werden (Reihenentwicklung des Ausdrucks und Summation der Koeffizienten).

Für alle, die es gerne ganz genau hätten:

[mm] $\br{8490080568297127207406347714994279577121862753085572677271}{50216813883093446110686315385661331328818843555712276103168}=$ [/mm]

[mm] $=\br{13641079*622390689790531028183793064683100184165919921223649}{2^{195}}\approx{16,9068\ \%}$ [/mm]  


[mm] \br{10055065607232664699800060596833042695309909291044214980169}{12554203470773361527671578846415332832204710888928069025792}=$ [/mm]

[mm] $=\br{3*13*257822195057247812815386169149565197315638699770364486671}{2^{193}}\approx{80,0932\ \%}$ [/mm]


Ich konnte auch nicht umhin, den Münzwurf zu simulieren und die Ergebnisse lagen mit 16,913 % und 80,087 % recht nahe bei den berechneten Werten (2 Millionen Durchgänge).

Für alle, die noch gern ähnliche Wahrscheinlichkeiten exakt berechnen möchten, nachstehend noch zwei Ergebnisse meiner Simulation:

Die Wahrscheinlichkeit, genau einen 6er Run (diesmal entweder Kopf oder Zahl) bei 200 Münzwürfen zu erzielen, lag bei ungefähr 6,36 %.

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen 6er Run (wieder: entweder Kopf oder Zahl) bei 200 Münzwürfen zu erzielen, lag bei ungefähr 96,53 %.

Allem obigen liegt die Sichtweise zugrunde, dass etwa ein Run der Länge 7 automatisch auch zwei Runs der Länge 6 beinhaltet, d.h. dass ein 6er Run von Nullen nicht notwendigerweise von Einsen begrenzt sein muss. Das bedeutet auch, dass die Forderung "genau ein 6er Run" die Existenz von Runs größerer Länge ausschließt.

Gruß RMix


Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Di 12.08.2014
Autor: Gianni

Hallo Al-Chwarizmi! Hallo RMix!

Also erstmals mein tiefster Respekt vor euren mathematischen Fähigkeiten. Ich werde jetzt einmal eine Zeit lang benötigen, um mir das im Detail zu Gemüte zu führen. 

Entschuldigt, dass ich mich erst jetzt melde, aber ich sollte in wenigen Wochen mit meiner Diplomarbeit fertig sein (die nichts mit Mathe zu tun hat, oder nur am Rande) und bin ziemlich im Stress. Trotzdem werde ich mir Zeit für das Studium der Lösung nehmen :-).

Rmix hatte recht, in dem Buch ging es um die Wahrscheinlichkeit mindestens einen Head-run zu werfen. Und das Buch heißt:
"ACHTUNG DENKFALLE Die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut", von Prof. Christian Hesse (er unterrichtet Mathe an der Uni Stuttgart)

Also nochmals vielen herzlichen Dank!!!

Liebe Grüße und nochmals Hut ab!!

Gianni

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:49 Di 12.08.2014
Autor: rmix22


> Hallo Al-Chwarizmi! Hallo RMix!
>  
> Also erstmals mein tiefster Respekt vor euren
> mathematischen Fähigkeiten. Ich werde jetzt einmal eine
> Zeit lang benötigen, um mir das im Detail zu Gemüte zu
> führen. 

Also, um der Wahrheit die Ehre zu geben muss ich schon feststellen, dass ich für meinen Beitrag im Gegensatz zu Al-Chwarizmi keine mathematischen Fähigkeiten aktivieren musste. Ich habe mich darauf beschränkt, Lösungswege bzw. Links, die von anderen (Al und luis) gefunden und gepostet wurden, in ein schlaues CAS einzutippen und ebendort auch gleich eine kleine Simulation zu realisieren.

Es ist wie schon gesagt faszinierend, worauf diese "einfache" Fragestellung geführt hat.

> Rmix hatte recht, in dem Buch ging es um die
> Wahrscheinlichkeit mindestens einen Head-run zu werfen. Und
> das Buch heißt:
>  "ACHTUNG DENKFALLE Die erstaunlichsten Alltagsirrtümer
> und wie man sie durchschaut", von Prof. Christian Hesse (er
> unterrichtet Mathe an der Uni Stuttgart)

  
Ich glaube die Stelle hat ich im Zuge meiner Internetrecherche auch in Google Books gefunden und soweit ich mich noch erinnere steht dort "genau 0,8", was so nicht ganz stimmen dürfte.

Ein weiteres []Fundstück könnte dich eventuell auch interessieren.

Gruß RMix


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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:09 Mi 13.08.2014
Autor: Gianni

Aber dein Beitrag hat aufgezeigt, dass im Buch dennoch etwas nicht ganz Richtiges steht ;-). Du hast recht, dort steht "genau 0.8". Danke für das Fundstück, ist echt interessant! 

Ich bin gerade ein wenig stolz, da ich als Nichtmathematiker Al-Chwarizmis Argumentationen gut folgen konnte :-).
Am meisten hat mich ja fasziniert, dass er auf das Bildungsgesetz dieser Fibonacci-ähnlichen Folge gekommen ist!

Beste Grüße
Gianni

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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:30 Mi 13.08.2014
Autor: Gianni

Ok, habe den Artikel von Schilling durchgeackert, jetzt ist mir klar, wie er auf die Folge kam. Er hat es eigentlich eh geschrieben...
Coole Sache!! Jetzt kann ich dieses Problem ad acta legen

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Wahrscheinlichkeit Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Mi 13.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich bin gerade ein wenig stolz, da ich als  Nichtmathematiker
> Al-Chwarizmis Argumentationen gut folgen konnte :-).

... und ich freue mich, dass es mir offenbar gelungen ist,
die Überlegungen, die nicht so leicht zu durchschauen sind,
wenn sie nur in Form komplexer Formeln daherkommen,
so darzulegen, dass sie gut verständlich rüberkommen ...

> Am meisten hat mich ja fasziniert, dass er auf das
> Bildungsgesetz dieser Fibonacci-ähnlichen Folge gekommen ist!

Das habe ich auch erst entdeckt, als ich mir auf einem Zettel
die Tabelle aller [mm] A_n(x) [/mm] für n von 0 bis 8 und x von 0 bis 5
notiert hatte und etwas näher anschaute. Da hat man der
Reihe nach 6 Folgen, welche je mit einer 1 beginnen. Die
erste Folge (für x=0) ist konstant, besteht also aus lauter Einsen.
Die zweite ist die "normale" Fibonaccifolge, beginnend mit
1,2,... . Dann kommt die Folge, welche mit  1,2,4 startet
und dann nach dem Bildungsgesetz   $\ [mm] A_n(2):=A_{n-1}(2)+A_{n-2}(2)+A_{n-3}(2)$ [/mm]
weitergestrickt wird.
Und so weiter.

LG und danke für dein Feedback

Al-Chwarizmi

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