Wahrscheinlichkeit Sechseck < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Wir betrachten ein regelmässiges Sechseck ABCDEF und eine Urne, welche 6 mit
A, B, C, D, E bzw. F beschriftete Kugeln enthält; so wird durch das Ziehen einer Kugel ein
Eckpunkt des Sechsecks bestimmt.
a) Wir ziehen aus der Urne nacheinander drei Kugeln, wobei die gezogene Kugel
immer wiederzurückgelegt wird.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass damit
1) nur ein Punkt bestimmt wird (also dreimal die gleiche Kugel gezogen wird) ?
2) zwei – aber nicht drei - verschiedene Punkte bestimmt werden und deren
Verbindungslinie ein Durchmesser des Umkreises des Sechsecks ist ?
3) drei verschiedene Punkte bestimmt werden ?
b) Wir ziehen nun gleichzeitig drei Kugeln.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Verbindungslinien der dadurch
bestimmten Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden ? |
Also ich hatte eigentlich keine Probleme bei allen Aufgaben von a). Was ich mich aber frage ist, ob es hier wichtig ist mit oder ohne Reihenfolge zu rechnen. Ich habe hier die Reihenfolge der Ziehungen beachtet und somit gibt es 216 Möglichkeiten, oder muss ich hier die Reihen Folge fallenlassen, weil z.b. Das Dreieck ABC, das gleiche ist wie das Dreieck BCA?
Und bei Aufgabe b) beträgt die Wahrscheinlichkeit doch P(E) = 0, denn ein gleichseitiges Dreieck kann nicht entstehen, höchstens gleichschenklige. Stimmt das so?
---> Ah habe bei b) gerade herausgefunden, dass es doch 2 Möglichkeiten gibt! Muss das mal kurz berechnen.
|
|
| |
|
Hallo,
zu a) erst mal: die Reihenfolge beachten is völlig richtig, und du hast auch richtig gesagt, insgesamt gibt es dann 216 Möglichkeiten also 6*6*6.
Somit musst du natürlich aber auch beachten, dass es 6 verschiedene Möglichkeiten gibt, die dir alle das gleiche Dreieck ABC(bzw. natürlich auch jedes andere beliebige Dreieck) aufspannen:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Warum beachtet man das? Die Antwort auf die Frage liefert die Berechnung unserer Gesamtmöglichkeiten, da wir ja gesagt haben, beim 1. Zug kann man aus 6 verschiedenen Kugeln ziehen, beim 2. ebenso und beim 3. auch, womit man auf [mm] 6^{3}=216 [/mm] Möglichkeiten kommt. Also hier im konkreten Bsp. kann man im 1. Zug aus den Kugeln das A ziehen im 2. das B und im 3. das C, aber genauso gut auch: im 1. Zug aus 6 Kugeln B im 2. A und im 3. C ziehen, was eben aber 2 verschiedene Möglichkeiten aus den 216 ergeben, auch wenn du damit auf das selbe Dreieck kommst.
zu b) Stimmt, auch dass es 2 Möglichkeiten gibt um auf ein gleichseitiges Dreieck zu kommen. Hier musst aber beachten, dass es ein Vorgang ohne zurücklegen ist, somit erhälst du auf jeden Fall 3 verschiedene Punkte, die dir auf jeden Fall ein 3-Eck aufspannen.
Jetzt musst du nur noch herausfinden, wie viele verschiedene 3-Ecke man konstruieren kann wenn man 3 von 6 Punkten beliebig miteinander verbindet. Und dann einfach die Definition der Wahrscheinlichkeit benutzen, sprich die günstigen Ereignisse (in dem Fall 2 gleichseitige 3-Ecke) durch die möglichen Ereignisse (also die Anzahl der Möglichkeiten verschiedene 3-Ecke aus 6 Punkten zu konstruieren) teilen.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ah Super vielen Dank.
Also dann bin ich auf folgendes gekommen:
a)1) Es gibt hier nur 6 Möglichkeiten nämlich, AAA,BBB,CCC etc.
also beträgt die Wahrscheinlichkeit:
[mm] (\bruch{1}{6}^3)*6= \bruch{1}{36}
[/mm]
2) Gesucht sind 2 verschiedene Punkte, und diese müssen dem Durchmesser entsprechen, weiter muss einer dieser Punkte doppelt vorkommen, das heisst:
Durchmesser entspricht den längen zwischen folgenden Punkten:
AD,BE,CF
das heisst es gibt 3 Möglichkeiten für einen Durchmesser. Weiter ist gefordert, dass ein Punkt doppelt vorkommt, daher gibt es ingsesamt folgende Möglichkeiten:
ADA,ADD aber so auch AAD,DAA,DAD und DDA
BEB,BEE aber so auch BBE,EBB,BEB und BBE
CFC,CFF aber so auch CCF,FCC,FCF und FFC
Das heisst es sind insgesamt: 18 Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also: [mm] (\bruch{1}{6})^3*18=\bruch{1}{12}
[/mm]
3) Hier arbeite ich über das Gegenereignis, was darf nicht vorkommen: 3mal die Gleiche und 2mal die Gleiche.
P(E) = 1 - P(GE1) - P(GE2)
P(GE1) = 3mal die Gleiche
Haben wir ja in Aufgabe 1 schon berechnet daher P(GE1) = [mm] \bruch{1}{36}
[/mm]
P(GE2) = 2mal die Gleiche
Hier habe ich herausgefunden, dass es 90 Möglichkeiten für dieses Ergebnis gibt.
Daher ist P(GE2) = [mm] (\bruch{1}{6}^3)*90 [/mm] = [mm] \bruch{90}{216} [/mm] = [mm] \bruch{5}{12}
[/mm]
Dann einfügen:
P(E) = 1 - [mm] \bruch{1}{36} [/mm] - [mm] \bruch{5}{12}
[/mm]
P(E) = 1 - [mm] \bruch{1}{36} [/mm] - [mm] \bruch{15}{36}
[/mm]
P(E) = [mm] \bruch{20}{36} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
Dann bei b) noch:
Hier gibt es 12 Möglichkeiten und es ist ein Ziehen ohne zurücklegen deshalb gilt:
P(E) = [mm] (\bruch{1}{6}*\bruch{1}{5}*\bruch{1}{4})*12 [/mm] =
P(E) = [mm] \bruch{1}{120}*12 [/mm] = [mm] \bruch{12}{120} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
So viele Antworten, stimmen sie denn? :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 02.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
alles was du geschrieben hast, stimmt,
allerdings würd ich es bei der a3) und b) etwas anders machen:
Zu a3) Die Anzahl Möglichkeiten 3 verschiedene Kugeln zu ziehen sind: Im ersten Zug dürfen alle 6 Kugeln gezogen werden, im 2. dann nur noch 5 der 6, weil eben die eine, die im 1. Zug gezogen wurde nicht mehr gezogen werden darf und im 3. dürfen noch 4 der 6 Kugeln gezogen werden, damit es ein günstiges Ereignis wird. Somit kommen wir auf 6*5*4=120 Möglichkeiten für ein günstiges Ereignis. Tja und [mm] \bruch{120}{216}= \bruch{5}{9}.
[/mm]
Zur b) ganz einfach: Jedes 3-Eck hat die gleiche Wk, und um aus 6 Punkten verschiedene Dreiecke zu konstruieren gibt es eben [mm] \vektor{6 \\ 3}=20 [/mm] mögliche verschiedene Dreiecke, von denen 2 eben gleichseitig sind, und damit kommt man genauso zum Ziel [mm] P(E)=\bruch{1}{10}.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
Viele Grüße
|
|
|
|
