Wahrscheinlichkeit bei Würfeln < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 So 27.02.2005 | | Autor: | saskia15 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe noch eine Frage zum Thema Würfeln:
Die Aufgabe ist folgendermaßen: Mit wie vielen idealen Würfeln muss man werfen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei mindestens eine 6 geworfen wird, mindestens gleich 0,999 ist?
Also ich würde jetzt mit der Wahrscheinlichkeit anfangen, also
x 1 2 3 4 5 6
p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Aber ein idealer Würfen hat doch 6 Seiten und deshalb haben doch alle Seiten diesselbe Wahrscheinlichkeit.
also ich wäre dankbar für einen kleinen Denkanstoß :)
Ich hätte ja gedacht dann einfach z Bsp 4*(4 Würfel)1/6 (Wahrscheinlickeit der gewürfelten Zahl) doch da kommt man nur auf 0,83 (bei 5 Würfeln) oder auf genau 1 (bei 6 Würfeln).
Wie soll man da auf 0,999 kommen?
Danke schonmal im Vorraus
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In der Aufgabenstellung steht ja, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens 0,999 betragen soll, d.h. sie kann auch höher sein.
Und da bei 6 Würfeln diese Voraussetzung, dass die Wahrscheinlichkeit [mm] \ge [/mm] 0,999 ist, das erste Mal erfüllt ist, wird das auch die richtige Antwort sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 So 27.02.2005 | | Autor: | saskia15 |
Ok, danke schön.
War meine Vermutung ja doch richtig :).
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Hi, Saskia,
Du gehst doch hoffentlich nicht wirklich davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, beim 6-maligen Werfen eines "normalen" Würfels wenigstens eine 6 zu kriegen, 100% ist?! Dann hast Du aber noch nie gewürfelt! Ich erinnere mich an ein "Mensch-Ärger-Dich-nicht"-Spiel, da hab' ich - glaub' ich - mehr als 10 mal gewürfelt und hatt' immer noch keine 6.
Also: Hier handelt es sich um eine Binomialverteilung mit [mm] p=\bruch{1}{6}.
[/mm]
Und Du sollst rausfinden, mit wievielen Würfeln (unbekannte Anzahl, sagen wir mal "n") Du werfen musst, um mindestens eine (also vielleicht auch gar zwei oder drei oder vier, ...) Sechs zu kriegen.
Nun: Was ist nicht erlaubt?
Klaro: Keine (also 0) Sechsen bei all' diesen Würfen.
Das aber (also keine Sechs bei n Würfen) ist leichter zu berechnen: [mm] \vektor{n\\0}*(\bruch{1}{6})^{0}*(\bruch{5}{6})^{n}
[/mm]
Das gesuchte Ereignis ist das Gegenereignis dazu, daher:
1 - [mm] \vektor{n\\0}*(\bruch{1}{6})^{0}*(\bruch{5}{6})^{n} \ge [/mm] 0,999
Nun ein bissl Algebra: 1 - [mm] (\bruch{5}{6})^{n} \ge [/mm] 0,999
oder umgeformt: [mm] (\bruch{5}{6})^{n} \le [/mm] 0,001
Nun brauchst Du einen Logarithmus, z.B. lg (dekadischer) oder ln (natürlicher):
[mm] lg(\bruch{5}{6})^{n}) \le [/mm] lg(0,001)
Logarithmengesetze:
[mm] n*lg(\bruch{5}{6}) \le [/mm] -3
oder (und jetzt aufpassen, denn lg(..) ist negativ!):
n [mm] \ge \bruch{-3}{-0,07918} \approx [/mm] 37,89
Das heißt: Du musst mindestens 38 Würfel werfen, um mit 99,9%-iger Sicherheit mindestens eine Sechs zu kriegen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 27.02.2005 | | Autor: | saskia15 |
Oh mein Gott, ehrlich gesagt versteh ich jetzt gar nichts mehr :(.
Wir hatten eigentlich jetzt Binomialverteilung und keine Logarithmen. Ahja was genau ist denn ein dekadischer Logarithmus? Naja ich kann mir das nur nochmal genau angucken, schreiben morgen eine Binomialverteilungsarbeit :(.
Anbei vielleicht noch eine Frage:
Ein idealer Würfel wird 3x unabhängig geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden
a) 3 gleiche zahlen
b) lauter verschiedene Zahlen gewürfelt?
b)
Ich hab mir nun gedacht, dass jeder Zahl 36 Möglichkeiten zugeordnet werden können. Davon sind 20 verschiedene Möglichkeiten (1,2,3 ; 1,2,4 ; usw.) Dann weil es ja 6 Zahlen insgesamt gibt, 20*6=120. Und dann alle Möglichkeiten zusammen, also 36*6=216. Dann dachte ich eben 120/216 wäre die Möglichkeit 55,5% lauter verschiedene Zahlen zu würfeln.
Ich hoffe wenigstens das ist richtig.
a) Bei a) hab ich es so ähnlich gerechnet. Dann komme ich auf 2,77% (1/216 *6).
Wäre dankbar wenn mir jmd sagen kann ob diese ergebnisse richtig sind.
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Hi, Saskia,
wenn Du den Logarithmus nch nicht kennst, dann vermute ich Folgendes: Du hast Dir die Aufgabe selbst aus irgendeinem Buch zur Binomialverteilung rausgesucht, ohne zu wissen, ob die überhaupt schon zu Deinem Wissensstoff gehört, stimmt's?
Hoffentlich sieht's bei Deinen neuen Aufgaben nicht genauso aus!
Also:
a) 3 gleiche, das sind: (111), (222), (333), (444), (555), (666)
also: 6 Stück.
Insgesamt gibt's aber [mm] 6^{3}=216 [/mm] mögliche Ergebnisse für das Werfen 3er unterscheidbarer) Würfel. Daher: P(E) = 6/216=1/36.
b) Lauter verschiedene heißt: 6*5*4 verschiedene Möglichkeiten, also: 120
Ergebnisse.
P(E)= 120/216 = 0,556. (OK)
Aber: Die Aufgabe hat eigentlich wenig mit Binomialverteilung, sondern mehr mit Kombinatorik und Laplace-Experimenten zu tun!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 So 27.02.2005 | | Autor: | saskia15 |
Naja wir haben die Aufgaben von unserer Lehrerin bekommen. Logarithmen hatten wir schon aber eben nicht in Verbindung mit Kombinatorik und Laplace. Also Logarithmen hatten wir eig nur "einzeln".
Danke für die Antwort.
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