Wahrscheinlichkeit beim Skat < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 So 05.09.2010 | | Autor: | Infinux |
| Aufgabe | Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten, vier davon heißen Buben. Nach dem Mischen der Karten erhalten die drei Spieler (Alex, Bodo und Carl) jeweils zehn Karten. Die verbleibenden zwei Karten bilden den sogenannten Skat. Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Mindestens ein Bube befindet sich im Skat.
B: Carl hat genau einen Buben. |
Ich benötige eine Erklärung zu den beiden Lösungsmöglichkeiten für das Ereignis A.
Man kann die Lösung für A ja auf 2 verschiedene Arten berechnen: der Gegenwahrscheinlichkeit von "auf dem Skat befindet sich kein Bube" oder der Wahrscheinlichkeit von "auf dem Skat befindet sich genau ein Bube" + "auf dem Skat befinden sich genau zwei Buben".
In der Musterlösung zur Aufgabe wurde die erste Variante berechnet:
[mm]P(A) = 1 - \bruch{\vektor{4 \\ 0} * \vektor{28 \\ 2}}{\vektor{32 \\ 2}} \approx 0,2379[/mm]
Ich bin diese Aufgabe auf dem zweiten Weg angegangen und habe Folgendes gerechnet:
[mm]P(A) = \bruch{\vektor{4 \\ 1} * \vektor{28 \\ 1}}{\vektor{32 \\ 2}} + \bruch{\vektor{4 \\ 2} * \vektor{28 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}} = 0,125[/mm]
Offensichtlich kommt nicht dasselbe dabei heraus wie in der MuLö. Wenn ich aber den "auf dem Skat befindet sich genau ein Bube"-Teil mit 2 multiplizieren, erhalte ich dasselbe Ergebnis wie bei der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit:
[mm]P(A) = 2 * \bruch{\vektor{4 \\ 1} * \vektor{28 \\ 1}}{\vektor{32 \\ 2}} + \bruch{\vektor{4 \\ 2} * \vektor{28 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}} \approx 0,2379[/mm]
Warum muss die erste Teilwahrscheinlichkeit in meiner Rechnung mit 2 multipliziert werden, um auf dasselbe Ergebnis zu kommen? Ich dachte mir zuerst, dass das mit der Reihenfolge der Kartenverteilung zusammenhängt, da sich der eine Bube ja in der ersten oder zweiten auf den Skat gelegten Karte befinden kann. Wenn dies so wäre, wäre das aber keine ungeordnete Stichprobe mehr (oder?) und die Lösung von P(B) ergäbe auch keinen Sinn:
[mm]P(B) = \bruch{\vektor{4 \\ 1} * \vektor{28 \\ 9}}{\vektor{32 \\ 10}} \approx 0,4283[/mm]
Hier gibt es ja 10 Möglichkeiten welche der erhaltenen Karten der Bube ist, es wird aber nicht mit 10 multipliziert, was ja auch Unsinn wäre.
Daher mein Problem: Ist die Lösung von P(B) falsch, gibt es einen Unterschied zwischen "auf dem Skat befindet sich genau ein Bube" und "Carl hat genau einen Buben" oder wo liegt mein Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 So 05.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten, vier davon heißen
> Buben. Nach dem Mischen der Karten erhalten die drei
> Spieler (Alex, Bodo und Carl) jeweils zehn Karten. Die
> verbleibenden zwei Karten bilden den sogenannten Skat.
> Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden
> Ereignisse:
>
> A: Mindestens ein Bube befindet sich im Skat.
> B: Carl hat genau einen Buben.
> Ich benötige eine Erklärung zu den beiden
> Lösungsmöglichkeiten für das Ereignis A.
>
> Man kann die Lösung für A ja auf 2 verschiedene Arten
> berechnen: der Gegenwahrscheinlichkeit von "auf dem Skat
> befindet sich kein Bube" oder der Wahrscheinlichkeit von
> "auf dem Skat befindet sich genau ein Bube" + "auf dem Skat
> befinden sich genau zwei Buben".
>
> In der Musterlösung zur Aufgabe wurde die erste Variante
> berechnet:
> [mm]P(A) = 1 - \bruch{\vektor{4 \\ 0} * \vektor{28 \\ 2}}{\vektor{32 \\ 2}} \approx 0,2379[/mm]
>
> Ich bin diese Aufgabe auf dem zweiten Weg angegangen und
> habe Folgendes gerechnet:
> [mm]P(A) = \bruch{\vektor{4 \\ 1} * \vektor{28 \\ 1}}{\vektor{32 \\ 2}} + \bruch{\vektor{4 \\ 2} * \vektor{28 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}} = 0,125[/mm]
>
> Offensichtlich kommt nicht dasselbe dabei heraus wie in der
> MuLö. Wenn ich aber den "auf dem Skat befindet sich genau
> ein Bube"-Teil mit 2 multiplizieren, erhalte ich dasselbe
> Ergebnis wie bei der Berechnung über die
> Gegenwahrscheinlichkeit:
> [mm]P(A) = 2 * \bruch{\vektor{4 \\ 1} * \vektor{28 \\ 1}}{\vektor{32 \\ 2}} + \bruch{\vektor{4 \\ 2} * \vektor{28 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}} \approx 0,2379[/mm]
>
> Warum muss die erste Teilwahrscheinlichkeit in meiner
> Rechnung mit 2 multipliziert werden, um auf dasselbe
> Ergebnis zu kommen? Ich dachte mir zuerst, dass das mit der
> Reihenfolge der Kartenverteilung zusammenhängt, da sich
> der eine Bube ja in der ersten oder zweiten auf den Skat
> gelegten Karte befinden kann. Wenn dies so wäre, wäre das
> aber keine ungeordnete Stichprobe mehr (oder?) und die
> Lösung von P(B) ergäbe auch keinen Sinn:
> [mm]P(B) = \bruch{\vektor{4 \\ 1} * \vektor{28 \\ 9}}{\vektor{32 \\ 10}} \approx 0,4283[/mm]
>
> Hier gibt es ja 10 Möglichkeiten welche der erhaltenen
> Karten der Bube ist, es wird aber nicht mit 10
> multipliziert, was ja auch Unsinn wäre.
>
> Daher mein Problem: Ist die Lösung von P(B) falsch, gibt
> es einen Unterschied zwischen "auf dem Skat befindet sich
> genau ein Bube" und "Carl hat genau einen Buben" oder wo
> liegt mein Denkfehler?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
da muss es wohl ein Problem in der Anwendbarkeit deiner Formel für den konkreten Fall geben. Ich kann nicht deine Gedanken lesen. Persönlich würde ich an "genau ein Bube" so herangehen:
Fall 1: Im Skat liegt der Eichel-Bube und ein Nicht-Bube [mm] (p=2*\bruch{1}{32}*\bruch{28}{31}).
[/mm]
Der Faktor 2 kommt deshalb zustande, weil die beiden Ziehungsreihenfolgen "Eichel-Bube --- Nicht-Bube" und "Nicht-Bube ---Eichel-Bube" jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Die anderen 3 Fälle beziehen sich jeweils auf einen der anderen Buben, sodass die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 Bube" letztendlich
[mm] 4*2*\bruch{1}{32}*\bruch{28}{31} [/mm] ist.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 So 05.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> da muss es wohl ein Problem in der Anwendbarkeit deiner
> Formel für den konkreten Fall geben. Ich kann nicht deine
> Gedanken lesen.
die Herangehensweise ist völlig korrekt und nennt sich "hypergeometrische Verteilung".
Er hat sich einfach nur verrechnet 
MFG,
Gono.
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Huhu,
Die Antwort ist so simpel wie idiotisch.... du hast dich verrechnet 
es gilt:
$ P(A) = [mm] \bruch{\vektor{4 \\ 1} \cdot{} \vektor{28 \\ 1}}{\vektor{32 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{4 \\ 2} \cdot{} \vektor{28 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}} [/mm] = 0,2379 $
edit: siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 So 05.09.2010 | | Autor: | Infinux |
Hm, es ist immer gut, wenn man die richtigen Tasten auf dem Taschenrechner drückt. Ich habe die nPr Funktion statt der nCr für ungeordnete Stichproben benutzt...
Vielen Dank fürs mit der Nase auf die Lösung stoßen. Ich wusste doch, dass es irgend etwas triviales sein muss. ;)
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