Wahrscheinlichkeit bestimmen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Do 31.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Die G8 trifft sich zu einer gemutlichen Krisensitzung. Die Vertreter der acht Lander, darunter Frau Merkel, Herr Sarkozy und Herr Conti, setzen sich hierzu zufällig an einen runden Tisch mit acht Platzen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) Frau Merkel und Herr Sarkozy nebeneinander sitzen?
b) Frau Merkel nicht neben Herrn Conti sitzt?
Modellieren Sie das Problem mit einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. |
a) Hier habe ich [mm] \bruch{2*6!}{8!}. [/mm] Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich dieses Ereignis als Menge schreiben soll...
b) [mm] \bruch{5*6!}{8!} [/mm] ?
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Hallo,
> Die G8 trifft sich zu einer gemutlichen Krisensitzung. Die
> Vertreter der acht Lander, darunter Frau Merkel, Herr
> Sarkozy und Herr Conti, setzen sich hierzu zufällig an
> einen runden Tisch mit acht Platzen.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> a) Frau Merkel und Herr Sarkozy nebeneinander sitzen?
> b) Frau Merkel nicht neben Herrn Conti sitzt?
> Modellieren Sie das Problem mit einem diskreten
> Wahrscheinlichkeitsraum.
> a) Hier habe ich [mm]\bruch{2*6!}{8!}.[/mm] Allerdings habe ich
> keine Ahnung wie ich dieses Ereignis als Menge schreiben
> soll...
Ich hätte jetzt gesagt, da sollten an Stelle der 6! im Zähler 7! stehen (womit man ein sehr einfaches und anschauliches Resultat bekommt).
>
> b) [mm]\bruch{5*6!}{8!}[/mm] ?
Auch das ist falsch. Achte mal genau darauf (Politiker sind austauschbar  ): das ist hier im Prinzip eine Artt Gegenereignis zu a).
Generell geht es hier um Permutationen, das sollte dir bei der Frage nach dem Wahrscheinlichkeitsraum helfen.
EDIT: Ich hatte hier einen Denkfehler drin, weil ich das mit dem runden Tisch überlesen hatte. Siehe also die Antwort von rmix22!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Do 31.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
> > Die G8 trifft sich zu einer gemutlichen Krisensitzung.
> Die
> > Vertreter der acht Lander, darunter Frau Merkel, Herr
> > Sarkozy und Herr Conti, setzen sich hierzu zufällig
> an
> > einen runden Tisch mit acht Platzen.
> > Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> > a) Frau Merkel und Herr Sarkozy nebeneinander sitzen?
> > b) Frau Merkel nicht neben Herrn Conti sitzt?
> > Modellieren Sie das Problem mit einem diskreten
> > Wahrscheinlichkeitsraum.
> > a) Hier habe ich [mm]\bruch{2*6!}{8!}.[/mm] Allerdings habe ich
> > keine Ahnung wie ich dieses Ereignis als Menge
> schreiben
> > soll...
>
> Ich hätte jetzt gesagt, da sollten an Stelle der 6! im
> Zähler 7! stehen (womit man ein sehr einfaches und
> anschauliches Resultat bekommt).
Ich fürchte, dass das auch falsch wird. Es sind entweder die 8! im Nenner, die durch 7! ersetzt werden müssen oder das Ergebnis muss noch mit 8 multipliziert werden. Das Ergebnis sollte jedenfalls 2/7 sein, nicht 1/4.
> >
> > b) [mm]\bruch{5*6!}{8!}[/mm] ?
>
> Auch das ist falsch. Achte mal genau darauf (Politiker sind
> austauschbar ): das ist hier im Prinzip eine Artt
> Gegenereignis zu a).
>
> Generell geht es hier um Permutationen, das sollte dir bei
> der Frage nach dem Wahrscheinlichkeitsraum helfen.
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Do 31.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Die G8 trifft sich zu einer gemutlichen Krisensitzung. Die
> Vertreter der acht Lander, darunter Frau Merkel, Herr
> Sarkozy und Herr Conti, setzen sich hierzu zufällig an
> einen runden Tisch mit acht Platzen.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> a) Frau Merkel und Herr Sarkozy nebeneinander sitzen?
> b) Frau Merkel nicht neben Herrn Conti sitzt?
> Modellieren Sie das Problem mit einem diskreten
> Wahrscheinlichkeitsraum.
> a) Hier habe ich [mm]\bruch{2*6!}{8!}.[/mm] Allerdings habe ich
> keine Ahnung wie ich dieses Ereignis als Menge schreiben
> soll...
>
> b) [mm]\bruch{5*6!}{8!}[/mm] ?
Bei beiden Ergebnissen müssen die 8! im Nenner durch 7! ersetzt werden, damit es richtig wird. Du erhältst damit die Wahrscheinlichkeiten 2/7 und 5/7 und das passt, denn b) ist natürlich die Gegenwahrscheinlichkeit von a), wie Diophant bereits angedeutet hat.
Alternativ kannst du dein Ergebnis noch jeweils mit 8 multiplizieren.
Die Gründe für beide Möglichkeiten der Korrektur sind jeweils die Tatsache, dass es sich um einen runden Tisch handelt. Du kannst/musst daher die Anzahl der "günstige" Fälle im Zähler noch mit 8 multiplizieren (Verdrehungen des Tisches) oder aber du denkst die die Position eine Politikers fixiert und ordnest nur die verbleiben 7 an. Der Kern ist, dass es nur um die relative Position der Politiker zueinander geht.
a) lässt sich auch sehr einfach auf anderem Weg ermitteln: Frau Merkel nimmt zunächst Platz, wo ist egal, da sie die erste ist. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Sarkozy von den verbleibenden sieben Plätzen auf einem der beiden Plätzen neben Frau Merkel Platz nimmt? Wird wohl 2:7 sein, oder?
Im Falle von b) Wie groß ist die W. dass Herr Conti von den sieben freien Plätzen einen der fünf wählt, die nicht neben Frau Merkel sind?
Gruß RMix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:06 Do 31.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo rmix22,
> Bei beiden Ergebnissen müssen die 8! im Nenner durch 7!
> ersetzt werden, damit es richtig wird.
Sorry, ich hatte das mit dem runden Tisch überlesen. Natürlich hast du Recht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 31.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Also ich würde es mir jetzt so überlegen:
Es gibt insgesamt 8! Möglichkeiten,
Frau Merkel kann sich an einen der 8 Plätze setzen, Sakorzy hat dann nnoch 2 Möglichkeiten, für die übrigen bleiben 6! Kombinationen, also
[mm] \bruch{2*8*6!}{8!}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Do 31.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Also ich würde es mir jetzt so überlegen:
>
> Es gibt insgesamt 8! Möglichkeiten,
> Frau Merkel kann sich an einen der 8 Plätze setzen,
> Sakorzy hat dann nnoch 2 Möglichkeiten, für die übrigen
> bleiben 6! Kombinationen, also
>
> [mm]\bruch{2*8*6!}{8!}[/mm]
Auch richtig. Es führen viele Wege nach Rom.
Es sind allerdings Permutationen, nicht Kombinationen. Aber ich weiß schon, dass das umgangssprachlich gemeint war. Trotzdem gerade bei diesem Thema gefährlich.
RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 31.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Gut 
Aber wie ich dieses Ereignis mengentheoretisch schreiben kann, ist mir nicht klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Do 31.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Könnte man dann die Frage bitte auf „unbeantwortet“ lassen?
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Man denkt sich die Politiker durch die Zahlen 1 bis 8 bezeichnet, zum Beispiel 1 für Merkel, 2 für Sarkozy, 3 für Conti, 4 für ... Jede Permutation [mm]\omega[/mm] der acht Zahlen kann als eine Sitzordnung angesehen werden. Die Koordinate, in der die Ziffer steht, ist der numerierte Stuhl, auf dem die Person Platz genommen hat. So bedeutet etwa [mm]\omega = (4,8,2,5,3,1,7,6)[/mm], daß Merkel auf Stuhl Nr. 6 sitzt, Sarkozy auf Stuhl Nr. 3, Conti auf Stuhl Nr. 5 und so weiter.
Da die Personen rein zufällig Platz nehmen, ist jede dieser Permutationen gleichwahrscheinlich. Daher ist durch
[mm]\Omega = \left\{ \, \omega = (p_1,p_2,\ldots,p_8) \, \left| \ p_1,p_2,\ldots,p_8 \in \{ 1,2,\ldots, 8 \} \ \text{paarweise verschieden} \right. \right\}[/mm]
der Ergebnisraum vollständig beschrieben. Und mit der Maßgabe, daß es ein Laplace-Raum sein soll, liegt auch der Wahrscheinlichkeitsraum fest.
Was ich hier gerade geschrieben habe, nennt man eine Modellierung der Aufgabe. Zu einer ordentlichen Lösung einer solchen Aufgabe gehört die Beschreibung des Modells. Und da ist oben kein Wort zuviel. Leider wird diese Modellierung von vielen Schülern und Studenten nicht durchgeführt, was, sobald die Aufgaben ein bißchen schwieriger werden, immer wieder zu unsinnigen Lösungen führt.
Ich habe mich oft gefragt, warum die Leute sich vor dieser Modellierung drücken. Und ich glaube auch, den Hauptgrund zu kennen: Weil es Mühe macht. Es macht Mühe, seine eigenen Gedanken in eine Ordnung zu bringen. Viel lieber setzen die Leute in vorgestanzte Formeln etwas ein. Bei Standardsituation mag das angehen, sobald es aber ein bißchen komplizierter wird, kommt man damit bei diesem Aufgabentyp nicht ans Ziel.
Die wichtigsten Punkte der Modellierung:
(1) Bezeichnungen einführen und erklären (wofür stehen die Zahlen? wie ist ein [mm]\omega[/mm] zu lesen?)
(2) ein oder mehrere typische Beispiele angeben
(3) den Ergebnisraum [mm]\Omega[/mm] abstrakt beschreiben und das Wahrscheinlichkeitsmaß angeben (hier: Laplace-Raum)
Jetzt zurück zur Aufgabe. Da ein Laplace-Raum vorliegt, berechnet man Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Mächtigkeiten. Zunächst gilt:
[mm]| \Omega | = \text{Anzahl der möglichen Fälle} = 8![/mm]
Jetzt zu a). Das Ereignis, daß Merkel und Sarkozy nebeneinander sitzen, heiße [mm]A[/mm]. Im gewählten Modell sind jetzt die [mm]\omega \in \Omega[/mm] auszusondern, die [mm]A[/mm] ausmachen. Ich habe mir angewöhnt, sowohl günstige (zu [mm]A[/mm]) als auch ungünstige (zu [mm]\bar{A}[/mm]) Beispiele zu machen, damit ich ein Gefühl für die Sache bekomme. Die Beispiele sollten möglichst vielfältig und verschiedenartig sein, damit man beim späteren Zählen nicht gewisse Situationen außer acht läßt oder umgekehrt Mehrfachzählungen vornimmt.
Beispiele für [mm]A[/mm]:
[mm](8,5,3,1,2,6,4,7), \ (2,5,6,4,7,3,8,1), \ (1,4,8,5,6,7,3,2)[/mm]
Die Beispiele zeigen die Gestaltungmöglichkeiten: 1,2 sind immer nebeneinander. Die letzten beiden Beispiele zeigen, daß man daran gedacht hat, daß der Tisch rund ist, denn die Plätze 8 und 1 sind benachbart. Sie zeigen weiter, daß die Personen 1 und 2 ihre Plätze tauschen können, als Paar aber immer noch auf den Plätzen 8 und 1 sitzen. Und sie zeigen, daß die übrigen 6 Personen beliebig permutieren dürfen.
Beispiel für [mm]\bar{A}[/mm]:
[mm](6,2,7,8,5,4,1,3)[/mm]
Die Personen 1 und 2 sitzen nicht nebeneinander.
Jetzt muß [mm]A[/mm] abstrakt beschrieben werden. Das kann man mit Hilfe mathematischer Zeichen tun. Man sollte sich dabei aber nicht verkünsteln. Gegebenenfalls ist eine präzise und eindeutige verbale Beschreibung besser geeignet.
mit mathematischen Zeichen:
[mm]A = \left\{ \, \omega = (p_1,p_2,\ldots,p_8) \in \Omega \, \left| \ \exists \, i \in \{ 1,2,\ldots,7 \}: \, \{ p_i,p_{i+1} \} = \{ 1,2 \} \ \ \vee \ \ \{ p_8,p_1 \} = \{ 1,2 \} \, \right. \right\}[/mm]
Und da merkt man: das wirkt schon ein bißchen überangestrengt.
verbale Beschreibung:
[mm]A[/mm] besteht aus allen [mm]\omega \in \Omega[/mm], bei denen 1,2 in dieser oder der Reihenfolge 2,1 in benachbarten Koordinaten stehen, wobei auch die erste und achte Koordinate als benachbart gelten.
Da hat man jetzt ein paar Worte dafür gebraucht. Dafür versteht man es vielleicht eher als bei der ersten Beschreibung.
Zum Schluß muß man noch [mm]|A|[/mm] bestimmen. Für die Wahl der benachbarten Stühle hat man 8 Möglichkeiten: der erste Stuhl kann die Nummer 1,2,...,8 besitzen. Der zweite Stuhl liegt dann fest: keine weitere Wahlmöglichkeit. Die Personen 1,2 können sich in dieser oder der Reihenfolge 2,1 auf die gewählten Nachbarstühle verteilen. Zu jeder bisherigen Wahl gibt also zwei weitere Wahlmöglichkeiten, insgesamt also [mm]8 \cdot 2[/mm] Möglichkeiten. Und die verbleibenden Personen dürfen auf den sechs noch freien Plätzen beliebig permutieren: zu jeder bisherigen Wahl weitere 6! Wahlmöglichkeiten. Insgesamt hat man also [mm]8 \cdot 2 \cdot 6![/mm] Möglichkeiten:
[mm]|A| = \text{Anzahl der günstigen Fälle} = 8 \cdot 2 \cdot 6![/mm]
[mm]P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |} = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{8 \cdot 2 \cdot 6!}{8!} = \frac{2}{7}[/mm]
Ich behaupte übrigens nicht, daß die von mir beschriebene Modellierung die einzig mögliche ist. Aber sie ist eine gangbare und übersichtliche Modellierung.
Es wäre eine schöne Aufgabe, sich zu überlegen, wie sich die clevere Lösung von rmix22 in dieser Modellierung darstellt. Er sagt ja: Die Merkel soll sich erst mal setzen. Dann sind noch 7 Stühle frei. Günstig dafür, daß Sarkozy neben Merkel sitzt, sind 2 Fälle, macht die Wahrscheinlichkeit 2/7.
Diese Lösung besticht durch ihre Einfachheit und Überzeugungskraft. Und das obige Modell erscheint viel zu aufwendig, wenn es doch so einfach geht. Wie paßt das alles zusammen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Fr 01.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Es wäre eine schöne Aufgabe, sich zu überlegen, wie sich
> die clevere Lösung von rmix22 in dieser Modellierung
> darstellt. Er sagt ja: Die Merkel soll sich erst mal
> setzen. Dann sind noch 7 Stühle frei. Günstig dafür,
> daß Sarkozy neben Merkel sitzt, sind 2 Fälle, macht die
> Wahrscheinlichkeit 2/7.
>
> Diese Lösung besticht durch ihre Einfachheit und
> Überzeugungskraft. Und das obige Modell erscheint viel zu
> aufwendig, wenn es doch so einfach geht. Wie paßt das
> alles zusammen?
Das liegt wohl an der drastischen Verkleinerung des Ergebnisraums bei diesem Ansatz. Dadurch, dass Verdrehungen des Tisches in sich nicht berücksichtigt werden reduziert sich die Mächtigkeit von [mm] \Omega [/mm] auf 1/8. Der Tisch kann also immer so gedreht werden, dass Merkel auf Stuhl Nr. 2 sitzt. Das geht natürlich nur, solange sich die Fragestellungen ausschließlich auf die relative Sitzpositionen bezieht und keine Aussagen wie "Merkel soll am weitesten vom Ausgang entfernt sitzen", was ja schon einen Plan bedingen würde.
Die drastischste Vereinfachung erfolgt aber durch das Ignorieren der sechs nicht in der Fragestellung erwähnten Politiker - "günstige" und "mögliche" Fälle können damit je durch 6! geteilt werden. Der Ergebnisraum besteht somit nur mehr aus sieben Elementen.
Fragestellungen wie "Merkel soll neben Sarkozy oder neben Conti sitzen, aber Conti und Sarkozy dürfen nicht Nachbarn sein" erfordern natürlich eine andere Modellierung.
Das ist auch letztlich der Nachteil des Ansatzes - das Modell orientiert sich an der konkreten Fragestellung, nicht an der allgemeinen Aufgabensituation.
RMix
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Ja, das war mir schon klar. Ich dachte eher an so etwas: Wie läßt sich deine Lösung in meinem Modell nachbilden? Ich möchte sie dort wiederfinden. Vielleicht etwas mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.
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