Wahrscheinlichkeitsberechnung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 17.08.2006 | | Autor: | sssi |
| Aufgabe | (Geburtstagsproblem) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass unter
25 zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei sind, die am gleichen Tag Geburstag haben? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Den Lösungsweg in meinem Buch verstehe ich nicht. Bitte unbedingt um einfache Erklärungssätze. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Do 17.08.2006 | | Autor: | Kyaha |
Wenn ich mich nicht total täusche, solltest du es einmal so betrachten.
Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Person genau an diesem Tag Geburtstag hat ist [mm]P(a) = \bruch{1}{356}[/mm].
Jetzt willst du überprüfen ob 2 oder mehr Personen am selben Tag Geburtstag haben.
Also berechnest du die Wahrscheinlichkeit dafür, daß dies bei 2 Personen zutrifft.
Dann berechnest du die Warhscheinlichkeit, daß dies bei 3 Personen zutrifft.
Dann für 4, 5, 6, ..., 25 Personen.
All deine berechneten Wahrscheinlichkeiten summierst du auf und erhälst dann das Endergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Do 17.08.2006 | | Autor: | sssi |
Liebe(r) Kyha,
ich glaube das ist nicht so ganz einfach, wie du erklärt hast. Die Aufgabe fällt unter Bestimmung von Anzahlen und entspricht einem "Ziehen aus einer Urne ohne Wiederholung mit Berücksichtigung der Reihenfolge".
In meiner Lösung wurde zuerst die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses P(A oben quer) berechnet. Nur nachfolgend wurde etwas durcheinander gebracht, deshalb hoffe ich, hier im Forum einen korrekten Lösungsweg zu erfahren.
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Das ist eine bekannte Aufgabe. Mehr als in deiner Musterlösung wird man daher hier auch nicht sagen können.
Wenn man alle Möglichkeiten [mm]\Omega[/mm] durch 25-Tupel repräsentiert, deren Koordinaten unabhängig voneinander die Werte [mm]1,2,3,\ldots,365[/mm] haben können, dann gibt es
[mm]|\Omega| = 365^{25}[/mm]
gleichwahrscheinliche Fälle. Ungünstig sind diejenigen Fälle, wo alle Personen an verschiedenen Tagen Geburtstagen haben. Für die erste Person gibt es da 365 Möglichkeiten, für die zweite noch 364, für die dritte 363 und so weiter. Also ist
[mm]| \bar{A} | = (365)_{25} = 365 \cdot 364 \cdot 363 \cdots 341[/mm]
die Zahl der ungünstigen Fälle. Nach Laplace gilt daher
[mm]P(\bar{A}) = \frac{(365)_{25}}{365^{25}}[/mm]
und folglich
[mm]P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{(365)_{25}}{365^{25}} \approx 0{,}569[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 17.08.2006 | | Autor: | sssi |
ok. Soweit habe ich das verstanden.
Deine Schreibweise der günstigen Fälle ist mir nicht ganz klar: warum 365_25 tiefgestellt? Das versteh ich nicht.
Ich versuch mal meine vorhandene Lösung darzustellen:
> Die Anzahl der günstigen Fälle ist also 365*364*...(365-25+1) = 365!/(365-25)!
Damit ist P(A oben quer)=365!/340!*365 hoch 25 = ca. 0,4314 und somit P(A)=1-P(A oben quer) =ca. 0,57
Was ich bei dieser Lösung nicht versteh ist die Gleichung n*(n-1)*...(n-k+1)=n!/(n-k)!
heißt das nicht: =n!/k!*(n-k)!
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Bitte beachte, daß man um Zähler und Nenner von Brüchen Klammern setzen muß, wenn man die (problematische) Schreibweise mit [mm]/[/mm] verwendet, z.B.
[mm]\frac{a}{bc} = a / (bc)[/mm]
So bedeutet z.B. [mm]a/bc[/mm] etwas ganz anderes, nämlich [mm]a/bc = \frac{a}{b} \cdot c[/mm]. Daß das so ist, kannst du mit jedem Taschenrechner sofort ausprobieren.
Jetzt zur eigentlichen Frage.
Das Produkt [mm]n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)[/mm] habe ich mit [mm](n)_k[/mm] abgekürzt. Diese Schreibweise findet man oft, sie hat sich aber wohl noch nicht allgemein durchgesetzt. Und das ist dasselbe wie [mm]\frac{n!}{(n-k)!}[/mm]. Ein Beispiel zeigt das:
[mm]10 \cdot 9 \cdot 8 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10!}{7!} = \frac{10!}{(10-3)!}[/mm]
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