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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 04.02.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | In einem Büro sitzen 6 Programmierer, die sich ein Telefon teilen. Jeder Programmierer führt im Schnitt 6 Gespräche an seinem 12 Stunden Arbeitstag, die im Mittel 1/4 Stunde dauern. Man kann davon ausgehen, dass die Zeiten zwischen den Aufgaben exponentialverteilt sind. Wann das Telefon besetzt ist, muss der Kollege warten, bevor er weiterarbeiten kann.
1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Programmierer zum Telefon greifen will, das jedoch gerade von einem Kollegen benutzt wird? |
Eigentlich ist dies eine Aufgabe aus der Informatik, aber ich finde sie passt auch sehr gut hier rein und vielleicht kann mir ja jmd helfen?!
Ich habe nämlich ein wenig Probleme die Lösung nachzuvollziehen.
Mein Problem: Ich hab keine Ahnung wie man $ [mm] \pi(0) [/mm] $ berechnet und kann somit auch die aufgabe nicht lösen!
Wenn:
$ [mm] \lambda [/mm] $ = ankommende Kunden pro Zeiteinheit
$ [mm] \mu [/mm] $ = bediente Kunden pro Zeiteinheit ist, dann gilt hier:
$ [mm] \lambda [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{120} [/mm] $ , da 1 Gespräch in 120 Min "ankommt"
$ [mm] \mu [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ , da es 6 Programmierer an der Strippe gibt
So weit so gut!
Hier ist danach gefragt wie die Wahrscheinlichkeit lautet, dass die Leitung gerade besetzt ist, d.h. es ist nach der Wahrscheinlichkeit $ [mm] 1-\pi(0) [/mm] $ gefragt $ [mm] (\pi(0) [/mm] $ = Wahrscheinlichkeit, dass sich keiner in der Leitung/im System befindet) -> Gegenereignis, also dass sich jmd im System befindet.
Bis hier kapier ich's auch noch.
Wie allerdings berechne ich jetzt $ [mm] \pi(0)? [/mm] $ Und alle weiteren $ [mm] \pi [/mm] $ s?
Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 1,2,3...6 Leute im System sind (was eigentlich irrelevant hier ist, weil ich ja nur $ [mm] \pi(0) [/mm] $ brauche).
Ich habe bei meinem Bruder in 1 Lösung gesehen mit anderen Zahlen, dass es irgendwie mit der Poisson-Verteilung bzw dem Poisson-Prozess zu tun hat, bei einer anderen Variante wurde eine Bilanzgleichung mit anschließender Besetzungswahrscheinlichkeit aufgestellt, was ich allerdings für sehr schwierig erachte.
Ich würde deswegen gerne die 1.Variante nachvollziehen können.
Kann mir da jmd.bei helfen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Blech |
> Wie allerdings berechne ich jetzt [mm]\pi(0)?[/mm] Und alle weiteren
> [mm]\pi[/mm] s?
Die Wahrscheinlichkeit, daß er zum Telefon greift und es gerade nicht belegt ist, ist gleich der Wkeit, daß keiner der anderen in den letzten 15min zum Telefon gegriffen hat.
Da die Zeiten exponentialverteilt sind und die Exponentialverteilung gedächtnislos ist, ist das gleich der Wahrscheinlichkeit, daß das Minimum von 5 iid exponentialverteilten ZV größer 15min ist. (ka, es fragt sich, wie man die Bemerkung, daß er sonst warten muß, interpretieren soll. Im ungünstigsten Fall kriegst Du dann eine Warteschlange, was das ganze wesentlich aufwendiger macht. Da Du eine einfache Lösung haben willst, ignorier ich die Möglichkeit einfach mal =)
Die andere Sache ist, ob er in den letzten 15min auch selber ein Telefonat begonnen haben kann und dann noch eins beginnen will, etc.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:36 Di 05.02.2008 | | Autor: | diecky |
> Die Wahrscheinlichkeit, daß er zum Telefon greift und es
> gerade nicht belegt ist, ist gleich der Wkeit, daß keiner
> der anderen in den letzten 15min zum Telefon gegriffen
> hat.
> Da die Zeiten exponentialverteilt sind und die
> Exponentialverteilung gedächtnislos ist, ist das gleich der
> Wahrscheinlichkeit, daß das Minimum von 5 iid
> exponentialverteilten ZV größer 15min ist.
Hm, den ersten Teil versteh ich noch, aber den letzten Satz irgendwie nicht. Wie berechne ich das denn jetzt konkret?
Ich kann nachvollziehen, dass die Wkeit dafür gesucht ist (bzw [mm] \pi(0)) [/mm] dem entspricht, wenn keiner der Programmierer in den letzten 15 Min zum Telefon gegriffen hat.
Zum Ausrechnen: Benutze ich da jetzt die Exponentialverteilung oder die Formel für den Poisson-Prozess?
Das expon.Bediensystem ist ein Poisson-Prozess, also sollte ich das doch auch damit lösen können,...nur wie wähle ich dann für:
[mm] e^{-\lambda*t}*\bruch{(\lambda t)^{k}}{k!}
[/mm]
die jeweiligen Werte?
Ich hätte jetzt [mm] \lambda [/mm] = 6*120 = [mm] \bruch{1}{20} [/mm] gewählt
,k=0 und t=15...dafür krieg ich aber irgendwas mit über90% für [mm] \pi(0) [/mm] raus, was aber nicht sein kann.
Die Lösung soll irgendwo bei 50% liegen.
Hab das Gefühl, ich hab das noch nicht 100%ig verstanden.
Wär nett, wenn jmd so geduldig wäre und es mir nochmal in einzelnen Schritten erklären könnte.
Danke!
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Heidewitzka, eure Lösungsansätze sehen ja richtig kompliziert aus.
Ich mach es mal ganz einfach:
Jeder Programmierer telefoniert 6 mal 15 Minuten. Das macht 90 Minuten am Tag (in 12 Stunden = 720 Minuten).
Also ist pro Programmierer die Wahrscheinlichkeit, dass er gerade an der Strippe hängt = 12.5 Prozent oder anders ausgedrückt:
Mit 87.5%iger Wahrscheinlichkeit quatscht ein bestimmter Programmierer gerade nicht.
Die Wahrscheinlichkeit, dass gerade gar keiner meiner fünf Kollegen telefoniert, ist demnach 0.875 hoch 5 (oder 51.2 %)
Also ist zu 48.7 % gerade jemand an Telefonieren, wenn ich zum Hörer greifen will.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Di 05.02.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Diese Lösung würde allerdings beinhalten (voraussetzen), dass auch mal mehrere meiner Kollegen gleichzeitig telefonieren. Das geht allerdings nicht, da es ja nur ein einziges Telefon gibt.
Also könnte man doch sagen, dass meine fünf Kollegen dieses eine Telefon 5*90 Minuten = 450 Minuten am Tag (der 720 Minuten hat) besetzen.
Wenn ich also mal telefonieren will, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass gerade einer meiner Kollegen an der Strippe hängt = [mm] \bruch{450}{720}
[/mm]
Oder muss man von den 720 Minuten jetzt noch meine eigene Telefonzeit (90 Minuten) abziehen?
Denn: Was wäre, wenn alle eine Stunde weniger arbeiten würden, und ich dafür aber nur 30 (statt 90) Minuten am Tag telefonieren würde?
Würde das etwas am Ergebnis ändern??
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