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Forum "Uni-Stochastik" - Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Aufgabe 1
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:02 Sa 20.06.2009
Autor: Justus1864

Aufgabe
Eine Maschine füllt Waschmittelpakete so, dass die eingefüllte Menge des Waschmittels normalverteilt mit µ = 520g und σ =15g ist. Auf den Paketen steht Füllgewicht 500g. Genau 25.1% der Pakete wiegt mehr als ... g? (auf ganze Zahlen runden) Eine Maschine füllt Waschmittelpakete so, dass die eingefüllte Menge des Waschmittels normalverteilt mit µ = 520g und σ =15g ist. Auf den Paketen steht Füllgewicht 500g. Genau 25.1% der Pakete wiegt MEHR als ... g? (auf ganze Zahlen runden)

Hallo!

Kann mir bitte wer erklären, wie man diese Aufgabe löst?
Ich verstehe das Vorgehen bei diesem Aufgabentyp nicht...und deswegen wäre es auch super, wenn sich jemand meiner erbarmen würde und mir auch eine Abänderung der Fragestellung ergänzend erklären könnte: Genau 25.1% der Pakete wiegt WENIGER als...?

Herzlichen DANK!

        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Doppelpost
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 Sa 20.06.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Hier hast du schon Antworten zu dem Fragentyp bekommen, frag bitte da nach, wenn dir etwas unklar ist.

Marius

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Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Sa 20.06.2009
Autor: Justus1864

Dort ist eben die Fragestellung eine andere....
Und ich bringe das ganz leicht durcheinander. Deswegen hätte ich gern Mustererklärungen dazu.
Ich trainiere nämlich für eine Prüfung und da sollte das sitzen.

Wäre also schön, wenn du oder ein anderer Member mir das anhand dieser Aufgabe hier erklären könntest.

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Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Sa 20.06.2009
Autor: Martinius

Hallo,

$P(A [mm] \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,251$ [/mm]

[mm] $\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,749$ [/mm]

Jetzt deine Tabelle der Standardnormalverteilung "rückwärts" lesen, also das Quantil zu 0,749 bestimmen.

Da muss man eigentlich linear interpolieren:

[mm] \Phi(0,67)=0,74857 [/mm]

[mm] \Phi(0,68)=0,75175 [/mm]

; aber ich nehme nur einen Näherungswert.

[mm] $\frac{A-520}{15} \approx0,67$ [/mm]

10,05=A-520

[mm] A\approx530 [/mm]



$P(X [mm] \le B)=\Phi\left(\frac{B-\mu}{\sigma} \right)=0,251$ [/mm]

[mm] $\Phi\left(\frac{\mu-B}{\sigma} \right)=0,749$ [/mm]

[mm] B\approx520-10,05=509,95 [/mm]


LG, Martinius

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Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Sa 20.06.2009
Autor: Justus1864


> Hallo,
>  
> [mm]P(A \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> [mm]\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,749[/mm]
>  

Kannst du mir bitte erklären, warum das so angeschrieben wird?

> Jetzt deine Tabelle der Standardnormalverteilung
> "rückwärts" lesen, also das Quantil zu 0,749 bestimmen.
>  
> Da muss man eigentlich linear interpolieren:
>  
> [mm]\Phi(0,67)=0,74857[/mm]
>  
> [mm]\Phi(0,68)=0,75175[/mm]
>  
> ; aber ich nehme nur einen Näherungswert.
>  
> [mm]\frac{A-520}{15} \approx0,67[/mm]
>  
> 10,05=A-520
>  
> [mm]A\approx530[/mm]
>  
>
>
> [mm]P(X \le B)=\Phi\left(\frac{B-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> [mm]\Phi\left(\frac{\mu-B}{\sigma} \right)=0,749[/mm]

Kannst du mir bitte erklären, warum da jetzt plötzlich im Zähler B und Mü vertauscht sind?
Das versteh ich einfach nicht...

>  
> [mm]B\approx520-10,05=509,95[/mm]
>  
>
> LG, Martinius

DANKE VIELMALS, Martinius!

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Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Sa 20.06.2009
Autor: Martinius

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > [mm]P(A \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,749[/mm]
>  >  
>
> Kannst du mir bitte erklären, warum das so angeschrieben
> wird?



$ P(A [mm] \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)=0,251 [/mm] $

[mm] $1-0,251=\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)$ [/mm]



  

> > Jetzt deine Tabelle der Standardnormalverteilung
> > "rückwärts" lesen, also das Quantil zu 0,749 bestimmen.
>  >  
> > Da muss man eigentlich linear interpolieren:
>  >  
> > [mm]\Phi(0,67)=0,74857[/mm]
>  >  
> > [mm]\Phi(0,68)=0,75175[/mm]
>  >  
> > ; aber ich nehme nur einen Näherungswert.
>  >  
> > [mm]\frac{A-520}{15} \approx0,67[/mm]
>  >  
> > 10,05=A-520
>  >  
> > [mm]A\approx530[/mm]
>  >  
> >
> >
> > [mm]P(X \le B)=\Phi\left(\frac{B-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\Phi\left(\frac{\mu-B}{\sigma} \right)=0,749[/mm]
>  
> Kannst du mir bitte erklären, warum da jetzt plötzlich im
> Zähler B und Mü vertauscht sind?
>  Das versteh ich einfach nicht...


[mm] \Phi(X)=a [/mm]   ;   a<0,5

[mm] \Phi(-X)=1-a=b [/mm]   ;   b>0,5



  

> >  

> > [mm]B\approx520-10,05=509,95[/mm]
>  >  
> >
> > LG, Martinius
>
> DANKE VIELMALS, Martinius!


Bitteschön. Aber bitte nicht so laut. ;-)


LG, Martinius

Bezug
                                                
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Sa 20.06.2009
Autor: Justus1864


> Hallo,
>  
> > > Hallo,
>  >  >  
> > > [mm]P(A \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,749[/mm]
>  >  >  
> >
> > Kannst du mir bitte erklären, warum das so angeschrieben
> > wird?
>  
>
>
> [mm]P(A \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)=0,251[/mm]
>  
> [mm]1-0,251=\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)[/mm]
>  
>
>
>
> > > Jetzt deine Tabelle der Standardnormalverteilung
> > > "rückwärts" lesen, also das Quantil zu 0,749 bestimmen.
>  >  >  
> > > Da muss man eigentlich linear interpolieren:
>  >  >  
> > > [mm]\Phi(0,67)=0,74857[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\Phi(0,68)=0,75175[/mm]
>  >  >  
> > > ; aber ich nehme nur einen Näherungswert.
>  >  >  
> > > [mm]\frac{A-520}{15} \approx0,67[/mm]
>  >  >  
> > > 10,05=A-520
>  >  >  
> > > [mm]A\approx530[/mm]
>  >  >  
> > >
> > >
> > > [mm]P(X \le B)=\Phi\left(\frac{B-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]\Phi\left(\frac{\mu-B}{\sigma} \right)=0,749[/mm]
>  >  
> > Kannst du mir bitte erklären, warum da jetzt plötzlich im
> > Zähler B und Mü vertauscht sind?
>  >  Das versteh ich einfach nicht...
>  
>
> [mm]\Phi(X)=a[/mm]   ;   a<0,5
>  
> [mm]\Phi(-X)=1-a=b[/mm]   ;   b>0,5
>  
>

Danke. Mir ist klar, dass ich aus der Tabelle keine WSK für kleiner als 0.50 rauslesen kann.
Aber heißt das, dass ich immer dann, wenn die WSK kleiner als 0.50 ist im Zähler das Mü und B zu tauschen habe?

Danke dir!

>
>
> > >  

> > > [mm]B\approx520-10,05=509,95[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > LG, Martinius
> >
> > DANKE VIELMALS, Martinius!
>
>
> Bitteschön. Aber bitte nicht so laut. ;-)
>  
>
> LG, Martinius


Bezug
                                                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Sa 20.06.2009
Autor: Martinius

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > > > Hallo,
>  >  >  >  
> > > > [mm]P(A \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> >  

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> > > >  

> > > > [mm]\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=0,749[/mm]
>  >  >  >

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> > >
> > > Kannst du mir bitte erklären, warum das so angeschrieben
> > > wird?
>  >  
> >
> >
> > [mm]P(A \le X)=1-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)=0,251[/mm]
>  
> >  

> > [mm]1-0,251=\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)[/mm]
>  >  
> >
> >
> >
> > > > Jetzt deine Tabelle der Standardnormalverteilung
> > > > "rückwärts" lesen, also das Quantil zu 0,749 bestimmen.
>  >  >  >  
> > > > Da muss man eigentlich linear interpolieren:
>  >  >  >  
> > > > [mm]\Phi(0,67)=0,74857[/mm]
>  >  >  >  
> > > > [mm]\Phi(0,68)=0,75175[/mm]
>  >  >  >  
> > > > ; aber ich nehme nur einen Näherungswert.
>  >  >  >  
> > > > [mm]\frac{A-520}{15} \approx0,67[/mm]
>  >  >  >  
> > > > 10,05=A-520
>  >  >  >  
> > > > [mm]A\approx530[/mm]
>  >  >  >  
> > > >
> > > >
> > > > [mm]P(X \le B)=\Phi\left(\frac{B-\mu}{\sigma} \right)=0,251[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > [mm]\Phi\left(\frac{\mu-B}{\sigma} \right)=0,749[/mm]
>  >  >  
> > > Kannst du mir bitte erklären, warum da jetzt plötzlich im
> > > Zähler B und Mü vertauscht sind?
>  >  >  Das versteh ich einfach nicht...
>  >  
> >
> > [mm]\Phi(X)=a[/mm]   ;   a<0,5
>  >  
> > [mm]\Phi(-X)=1-a=b[/mm]   ;   b>0,5
>  >  
> >
> Danke. Mir ist klar, dass ich aus der Tabelle keine WSK für
> kleiner als 0.50 rauslesen kann.
>  Aber heißt das, dass ich immer dann, wenn die WSK kleiner
> als 0.50 ist im Zähler das Mü und B zu tauschen habe?
>  
> Danke dir!



Es kommt auf das Vorzeichen an.

Wenn nach

$P(X [mm] \le A)=\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)$ [/mm]

gefragt ist und $A < [mm] \mu$ [/mm] ist, dann ist diese Wahrscheinlichkeit immer < 0,5 und kann aus der Tabelle nicht abgelesen werden.

Aber Du kannst das Spiegelbild aus der Tabelle ablesen.

Dazu stellst Du dir wieder eine Standardnormalverteilung (Glockenkurve) vor: P(X [mm] \le a)=\Phi(a) [/mm] mit $a < [mm] 0=\mu$. [/mm] a ist also negativ.

Dann ist $P(X [mm] \le a)=1-\Phi(-a)$. [/mm] -a ist also positiv und kann aus der Tabelle abgelesen werden.

Also ist

$P(X [mm] \le A)=\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=1-\Phi\left(-\;\frac{A-\mu}{\sigma} \right)=1-\Phi\left(\frac{\mu-A}{\sigma} \right)$ [/mm]



>  >

> >
> > > >  

> > > > [mm]B\approx520-10,05=509,95[/mm]
>  >  >  >  
> > > >
> > > > LG, Martinius
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> > > DANKE VIELMALS, Martinius!
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> > Bitteschön. Aber bitte nicht so laut. ;-)
>  >  
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> > LG, Martinius
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LG, Martinius

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