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Forum "Uni-Stochastik" - Wann Verteilungsfunktion 0,5
Wann Verteilungsfunktion 0,5 < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wann Verteilungsfunktion 0,5: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Fr 06.09.2013
Autor: dodothegoof

Da die klassischen Normalverteilung symmetrisch ist, gilt, dass beim Erwartungswert der Wert der kumulierten Verteilungsfunktion gleich 0,5 ist. Mit anderen Worten [mm] F(\mu)=\bruch{1}{2}. [/mm] Selbiges würde auch bei einer gleichverteilten Funktion gelten.

Wie sieht das aber nur bei er schiefen, nicht symmetrischen Verteilungsfunktion aus? Intuitiv hätte ich gesagt, dass dem auch so ist. Bin aber nun verunsichert. Meinungen dazu?

        
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Wann Verteilungsfunktion 0,5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 06.09.2013
Autor: ullim

Hi,

nehme mal die Exponentialverteilung mit Dichte [mm] \lambda*e^{-\lambda*x} [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] und sonst 0. Die Dichte ist nicht symetrisch. Der Erwartungswert ist [mm] \mu=\bruch{1}{\lambda} [/mm] und die Verteilungsfunktion ist [mm] F(x)=1-e^{-\lambda*x} [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] und sonst 0.

Der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle des Erwartungswertes beträgt

[mm] F(\mu)=1-e^{-1}\approx0.632 [/mm] also [mm] F(\mu)\ne\bruch{1}{2} [/mm]



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Wann Verteilungsfunktion 0,5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Fr 06.09.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie soll das bei Verteilungen gehen, für die $F(x) [mm] \not= \bruch{1}{2}$ [/mm] für alle x gilt, wo der Wert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ja nicht mal angenommen wird.
So ein x muss es also nicht mal geben.

MFG,
Gono.

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Wann Verteilungsfunktion 0,5: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Fr 06.09.2013
Autor: ullim

Hi,

ich geh mal davon aus, das er nur stetige Verteilungen betrachtet hat oder betrachten wollte.

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Wann Verteilungsfunktion 0,5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Fr 06.09.2013
Autor: luis52

Moin,

nicht der Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] ist ausschlaggebend, sondern  der Umstand, dass in deinen Beispielen der *Median* [mm] $x_{0.5}$ [/mm] mit dem Erwartungswert [mm] uebereinstimmt,$x_{0.5}=\mu$. [/mm] Und  [mm] $F(x_{0.5})=0.5$ [/mm] gilt (bei stetigen Verteilungen) schon per definitionem.

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Wann Verteilungsfunktion 0,5: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:49 Sa 07.09.2013
Autor: dodothegoof

Vielen Dank für eure Hilfe. Jetzt ist es mir klarer, bzw. ich habe mich gedanklich selbst zu sehr verwirrt. Wenn ich eine Einkommensverteilung habe und ich würde einen Bürger aus der Masse herausziehen, dass ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit größer als 50% ist, dass sein Einkommen unter dem durchschnittlichen Einkommen liegt. Letztlich sind auch alles nur Kugeln mit Zahlen drauf. Trotzdem fällt es gedanklich schwerer.

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