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Warum ist die Integration fals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Mi 18.01.2017
Autor: arti8

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+8x} dx} [/mm]


Guten Abend,

Beim integrieren des genannten Integrals mache ich was falsch ich weiß aber nicht was ich falsch mache.


Mein Rechenweg:

Um zu integrieren wollte ich das integral in die Form bringen um mit dieser Formel: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{a+x} dx}=ln(|x+a|) [/mm] (Binomi Formelsammlung) arbeiten zu können.

Also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+8x} dx} [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{8(\bruch{1}{8}+x)} dx} [/mm]
[mm] \bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\bruch{1}{8}+x} dx}=\bruch{1}{8}*ln(\bruch{1}{8}+x)+C [/mm]


Ist aber ne falsche Lösung. Warum klappt das den nicht ?

Also ich habe es mit der Substitution auf die richtige Lösung gebracht nur würde ihc gerne verstehen warum das wie im Rechenweg oben nicht klappt.




        
Bezug
Warum ist die Integration fals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mi 18.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

nein, deine Lösung ist schon richtig, auch wenn sie vielleicht anders ausschaut als eine etwaige Musterlösung.

Du hast zwei Dinge nicht bedacht:
- Es ist ein unbestimmtes Integral
- Es gilt: ln(a*f(x))=ln(a)+ln(f(x))

Siehst du, was ich meine?

Gruß, Diophant

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Bezug
Warum ist die Integration fals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Mi 18.01.2017
Autor: arti8


> Hallo,
>  
> nein, deine Lösung ist schon richtig, auch wenn sie
> vielleicht anders ausschaut als eine etwaige
> Musterlösung.
>  
> Du hast zwei Dinge nicht bedacht:
>  - Es ist ein unbestimmtes Integral
>  - Es gilt: ln(a*f(x))=ln(a)+ln(f(x))
>  
> Siehst du, was ich meine?
>  
> Gruß, Diophant

Ne leider nicht.

Das es ein unbestimmtes Integral ist, ist mir bewusst. Ich habe deswegen ja auch weil es unbestimmt ist ne Konstante mit angefügt.

Aber es kann doch nicht richtig sein was ich da raus habe:

Ich habe probeweiser für x eine 5 eingesetzt um zu schauen ob der gleiche Wert in der richtigen Lösung und meiner Lösung raus kommt. Und es sind unterscheidliche Werte heraus gekommen.

Bezug
                        
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Warum ist die Integration fals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Mi 18.01.2017
Autor: Chris84

Huhu,
ich schliesse mich Diophant an; die Loesung sieht gut aus :)

Wie waere es denn, wenn du die andere Loesung 'mal angaebest (eventuell mit Rechenweg?). Dann koennen wir ja schauen, warum da andere Werte rauskommen :)

Lg,
Chris

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Warum ist die Integration fals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Mi 18.01.2017
Autor: arti8

Also erste Lösung ist wie im Rechenweg angegeben:

1.)
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+8x} dx} [/mm] $
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{8(\bruch{1}{8}+x)} dx} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\bruch{1}{8}+x} dx}=\bruch{1}{8}\cdot{}ln(\bruch{1}{8}+x)+C [/mm] $

zweite Lösung mit Substitution:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+8x} dx} [/mm]         /t=1+8x [mm] \Rightarrow dx=\bruch{1}{8}dt [/mm]
[mm] \bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t} dt} [/mm]
[mm] \bruch{1}{8}*ln(t)+C [/mm]                                     /Rücksubstition
[mm] \bruch{1}{8}*ln(1+8x)+C [/mm]       (diese Lösung wird auch von Wolfram alpha angezeigt)


mit x=5

1.)
[mm] \bruch{1}{8}\cdot{}ln(\bruch{1}{8}+x)=0,204266 [/mm]

2.)
[mm] \bruch{1}{8}*ln(1+8x)=0,46419 [/mm]


ISt da ein Fehler drin ? Liegt er an der Konstanten ?

Bezug
                                        
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Warum ist die Integration fals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Mi 18.01.2017
Autor: donquijote


> Also erste Lösung ist wie im Rechenweg angegeben:
>
> 1.)
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+8x} dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{8(\bruch{1}{8}+x)} dx}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\bruch{1}{8}+x} dx}=\bruch{1}{8}\cdot{}ln(\bruch{1}{8}+x)+C[/mm]
>  
> zweite Lösung mit Substitution:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+8x} dx}[/mm]         /t=1+8x
> [mm]\Rightarrow dx=\bruch{1}{8}dt[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{8}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{8}*ln(t)+C[/mm]                                    
> /Rücksubstition
>  [mm]\bruch{1}{8}*ln(1+8x)+C[/mm]       (diese Lösung wird auch von
> Wolfram alpha angezeigt)
>  
>
> mit x=5
>  
> 1.)
>  [mm]\bruch{1}{8}\cdot{}ln(\bruch{1}{8}+x)=0,204266[/mm]
>  
> 2.)
>  [mm]\bruch{1}{8}*ln(1+8x)=0,46419[/mm]
>  

Hallo,

>
> ISt da ein Fehler drin ? Liegt er an der Konstanten ?  

Ja. Diophant hat es in seiner ersten Antwort im Prinzip schon gesagt. Du musst nur seinen Tipp richtig verstehen.


Bezug
                                                
Bezug
Warum ist die Integration fals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Mi 18.01.2017
Autor: arti8

hmm ne ich komm nicht hinter. Kann mir vielleicht jemand zeigen wie es richtig sein sollte ? Anhand meines Beispieles ?

Bezug
                                                        
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Warum ist die Integration fals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Mi 18.01.2017
Autor: Chris84

Huhu,
bissel tricky ist es ja auch :)

Ich werfe einfach mal

[mm] $8\cdot \left(\frac{1}{8}+x\right) [/mm] = 1+8x$

in den Raum ;)

Klingelt's? :)



Bezug
                                        
Bezug
Warum ist die Integration fals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Do 19.01.2017
Autor: HJKweseleit


> mit x=5
>  
> 1.)
>  [mm]\bruch{1}{8}\cdot{}ln(\bruch{1}{8}+x)=0,204266[/mm]
>  
> 2.)
>  [mm]\bruch{1}{8}*ln(1+8x)=0,46419[/mm]
>  
>
> ISt da ein Fehler drin ? Liegt er an der Konstanten ?  

Genau!

Wenn eine Lösung [mm] F(x)+C_1 [/mm] und die andere [mm] F(x)+C_2 [/mm] heißt, kommt für x=5 natürlich was Unterschiedliches heraus, obwohl die beiden Fs übereinstimmen.

Ein Integral hat doch im Allgemeinen 2 unterschiedliche Grenzen. Wenn du nun von x=5 bis x=6 integrierst, kriegst du bei beiden Lösungen das selbe heraus!


Bezug
                                        
Bezug
Warum ist die Integration fals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:39 Do 19.01.2017
Autor: fred97

lies Diophants antwort nochmal, aber unter der Beachtung des folgenden zaubersatzes:

" zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine additive konstante "

Bezug
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