Was ist a/b mod n? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Do 26.10.2006 | | Autor: | JanSu |
Hallo,
wir hatten heute in der Analysis 1 Vorlesung erstmalig den primen Restklassenkörper (oder so ähnlich *g*), leider weiss ich über dieses modulo Rechnen aber noch sehr wenig. Mir ist klar, wie man mit "+" und "x" umgeht, ich wüsste bei manchen Aufgaben mit Brüchen auch, wie ich sie als Zahl darstellen kann:
1/3 mod 2 = 1 ist doch z.B. hoffentlich richtig, oder nicht?
Na ja, mit 2/3 mod 5 kann ich aber irgendwie nix anfangen... hhm, es sei denn 2/3 mod 5 = 12/3 mod 5 = 4 mod 5 = 4 wäre richtig?
Ich bin sicher, dass es das hier ähnliches irgendwo schon mal gab, ich würde auch echt gerne suchen, nur leider ist die Internetverbindung so unglaublich langsam. Wäre nett, wenn jemand antworten könnte, bin da zugegeben noch ein bisschen verwirrt, obwohl ich's ziemlich lustig finde...
Vielen Dank,
- JanSu
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Grüße!
Mit Brüchen sollte man da vorsichtig sein. Im Prinzip bedeutet [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] ja auch eigentlich $2 [mm] \cdot 3^{-1}$, [/mm] wobei [mm] $3^{-1}$ [/mm] das Inverse Element zu 3 bzgl. der Multiplikation ist, nämlich dasjenige Element, das multipliziert mit 3 gleich 1 ist.
Im Körper [mm] $\IQ$ [/mm] der rationalen Zahlen ist das eben [mm] $\frac{1}{3}$, [/mm] aber im primen Restklassenkörper modulo 5 ist es auch eine ganze Zahl, in diesem Fall 2. Warum? Weil $3 [mm] \cdot [/mm] 2 = 6 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mbox{ (mod 5)}$.
[/mm]
Also ist 2 multiplikativ invers zu 3 und das führt zur symbolischen Schreibweise [mm] $\frac{1}{3} [/mm] = [mm] 3^{-1} \equiv [/mm] 2 [mm] \mbox{ (mod 5)}$.
[/mm]
Also ist [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] wirklich 4... und wieso konntest Du jetzt so rechnen, wie Du wolltest?
Naja, wegen $10 [mm] \equiv [/mm] 0$ (das mod 5 spar ich mir mal ab jetzt) folgt auch [mm] $\frac{10}{3} [/mm] = 10 [mm] \cdot 3^{-1} \equiv [/mm] 0 [mm] \cdot 3^{-1} [/mm] = 0$ und daher ist
[mm] $\frac{2}{3} \equiv \frac{2}{3} [/mm] + [mm] \frac{10}{3} [/mm] = [mm] \frac{12}{3} [/mm] = 4$
Alles klar? Formal rechnen ist schön und gut, aber man sollte verstehen wieso und warum! 
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Do 26.10.2006 | | Autor: | JanSu |
Hey, vielen Dank für deine schnelle und mir verständliche Antwort! Ich schreib jetzt nix mehr dazu, weil ich gerade sehr, sehr müde bin, nur hast du natürlich recht, dass es ums Verstehen geht... nur geht das bei mir meistens mit dem Anwenden einher, will heißen, ich schau irgendwas an, probiere dann rum, frage, schaue es wieder an, probiere weiter etc. Na ja... danke, wie gesagt, danke und gute Nacht ;)
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