Was ist ein (Gruppen)homomorph < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | ...ismus . Hat nicht mehr hingepasst.
Angenommen:
Gruppe [mm] (\IZ, [/mm] +) und Gruppe [mm] (\bruch{\IZ}{3* \IZ}, [/mm] +) = {0,1,2}
(Von dieser Seite http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Gruppenhomomorphismus.html) |
Dann habe ich einen Homomorphismus angeben p: [mm] \IZ [/mm] -> [mm] \IZ [/mm] (von selber Seite)
p(z) = z mod 3 = 3 + 3 [mm] \IZ
[/mm]
1. Die Funktion an sich ist der Homomorphismus, richtig? Nicht die Gruppen sind homomorph, sondern die Funktion bildet homomorph ab.
und 2.
Wie setze ich da Zahlen ein, um es zu überprüfen?
Ist folgendes richtig?
z = 3, dann ist 3 mod 3 = 0 und (3+3*1) mod 3 = 0 und und (3+3*2) mod 3 = 0 und (3+3*0) mod 3 = 0.
Ist das richtig interpretiert?
D. h. der Homomorphismus soll aussagen: Egal ob ich aus z gleich den mod 3 nehme oder (z+3*1) mod 3 mache, das ergebnis ist dasselbe, für alle ganzen Zahlen?
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Hallo,
ich versuche mich mal an einer ersten Antwort. Aber vorneweg ganz ehrlich: das ist noch nicht verstanden, und so ganz einfach ist die Materie nicht.
> ...ismus . Hat nicht mehr hingepasst.
>
> Angenommen:
>
> Gruppe [mm](\IZ,[/mm] +) und Gruppe [mm](\bruch{\IZ}{3* \IZ},[/mm] +) =
> {0,1,2}
>
> (Von dieser Seite
> http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Gruppenhomomorphismus.html)
> Dann habe ich einen Homomorphismus angeben p: [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm]
> (von selber Seite)
>
> p(z) = z mod 3 = 3 + 3 [mm]\IZ[/mm]
>
> 1. Die Funktion an sich ist der Homomorphismus, richtig?
Man spricht eigentlich hier nicht von Funktionen, sondern von Abbildungen. Ein Homomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung. Um das zu verstehen, muss man sich klar machen, was man unter einer Struktur versteht. Erst dann kann man sich an den Sinn der Definition (die ja auf der verlinkten Seite steht) heranwagen. Die Antwort auf deine obige Frage ist: Ja, die Abbildung ist ein Homomorphismus, aber dieses Ja für sich alleine wird dich hier kaum weiterbringen.
> Nicht die Gruppen sind homomorph, sondern die Funktion
> bildet homomorph ab.
Das sind Fragen der Sprechweise in meinen Augen. Dass man sagt, Gruppen seien homomorph, ist mir jetzt nicht geläufig (was aber nichts heißen muss) und es würde auch eher keinen Sinn ergeben, da es zunächst ja nur in eine Richtung stimmt. Jedoch: ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Und dass Gruppen zueinander isomorph sind ist wiederum eine weitverbreitete und alltägliche Sprechweise in der Algebra. Und die macht jetzt eben Sinn, weil es ja durch die Bijektivität in beide Richtungen stimmt.
>
> und 2.
>
> Wie setze ich da Zahlen ein, um es zu überprüfen?
>
> Ist folgendes richtig?
>
> z = 3, dann ist 3 mod 3 = 0 und (3+3*1) mod 3 = 0 und und
> (3+3*2) mod 3 = 0 und (3+3*0) mod 3 = 0.
>
> Ist das richtig interpretiert?
>
> D. h. der Homomorphismus soll aussagen: Egal ob ich aus z
> gleich den mod 3 nehme oder (z+3*1) mod 3 mache, das
> ergebnis ist dasselbe, für alle ganzen Zahlen?
Nein, das ist so nicht richtig (oder ich verstehe es nicht). In diesem Fall sagt der Homomorphismus, dass der Rest modulo 3 der Summe a+b zweier ganzer Zahlen a,b kongruent zur Summe der beiden einzelnen Reste von a und b, jeweils modulo 3 ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mo 18.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ...ismus . Hat nicht mehr hingepasst.
>
> Angenommen:
>
> Gruppe [mm](\IZ,[/mm] +) und Gruppe [mm](\bruch{\IZ}{3* \IZ},[/mm] +) = {0,1,2}
was soll das letzte bedeuten? Es ist für
[mm] $\IZ/(3*\IZ)$
[/mm]
die Menge [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] ein Repräsentantensystem.
>
> (Von dieser Seite
> http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Gruppenhomomorphismus.html)
> Dann habe ich einen Homomorphismus angeben p: [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IZ[/mm]
> (von selber Seite)
>
> p(z) = z mod 3 = 3 + 3 [mm]\IZ[/mm]
Dass [mm] $z\,$ [/mm] mod 3=3+3 [mm] $\IZ$ [/mm] wäre, ist doch Quatsch!
> 1. Die Funktion an sich ist der Homomorphismus, richtig?
> Nicht die Gruppen sind homomorph, sondern die Funktion
> bildet homomorph ab.
Diophant hat es schon gut erklärt. Es gibt auch ein paar Diskrepanzen,
wann man von Funktionen und wann man von Abbildungen spricht. Sogar
beim Begriff der Abbildung kann man sich drüber streiten. Ich würde ihn
aber dennoch hier vorziehen, so, wie er
![[]](/images/popup.gif) hier
oder
hier
verwendet wird. Wobei Du siehst, dass da auch schon das Wort Funktion
im Sinne des Wortes Abbildung verwendet wird.
> und 2.
>
> Wie setze ich da Zahlen ein, um es zu überprüfen?
Warum denn mit Zahlen?
Du hast die Gruppe
[mm] $(\IZ,+)\,$
[/mm]
und die Gruppe
[mm] $(\IZ/(3\IZ),\oplus)\,,$
[/mm]
wobei ich extra [mm] $\oplus$ [/mm] schreibe, auch, wenn es einen 'natürlichen' Zusammenhang
zwischen [mm] $+\,$ [/mm] und [mm] $\oplus$ [/mm] gibt.
Dass mit
[mm] $\IZ \ni [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] p(z):=z [mm] \text{ mod }3$ [/mm] (rechts steht der kleinste nichtnegative Rest bei
Division durch 3; eigentlich sollte man das als Repräsentanten einer
Äquivalenzklasse auffassen und diesen mit der Äquivalenzklasse
identifizieren - unten mache ich das ein wenig genauer)
eine Abbildung $p [mm] \colon \IZ \to \IZ/(3*\IZ)$ [/mm] definiert ist, ist schonmal klar, denke ich.
Zur Homomorphie-Eigenschaft:
Wenn [mm] $p\,$ [/mm] ein (Gruppen-)Homomorphismus ist (dass wir eine Abbildung zwischen
zwei Gruppen haben, ist klar, siehe oben), dann muss doch
für alle [mm] $z_1,z_2 \in \IZ$ [/mm] auch [mm] $p(z_1+z_2)=p(z_1)\oplus p(z_2)$
[/mm]
gelten. Das Ganze ist jetzt ein bisschen tricky, denn eigentlich würde man
besser noch mit einer Zusatzabbildung [mm] $\IZ/(3*\IZ) \to \{0,1,2\}$ [/mm] arbeiten. Ich
erspare mir das mal und erläutere es nur ein wenig in Worten:
Sei [mm] $x\,$ [/mm] der eindeutige Repräsentant aus [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] mit [mm] $p(z_1)=x+3*\IZ$
[/mm]
und [mm] $y\,$ [/mm] der eindeutige Repräsentant aus [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] mit [mm] $p(z_2)=y+3*\IZ.$
[/mm]
Dann wird
[mm] $p(z_1) \oplus p(z_2)$
[/mm]
wegen
[mm] $z_1 \equiv [/mm] x$ mod [mm] $3\,$
[/mm]
und
[mm] $z_2 \equiv [/mm] y$ mod [mm] $3\,$
[/mm]
sich wie folgt berechnen:
Es ist
[mm] $z_1+z_2 \equiv [/mm] x+y$ mod 3
(schau' nach, wie die Addition auf [mm] $\IZ/(3*\IZ)$ [/mm] definiert ist!)
und wenn wir rechts den kleinsten nichtnegativen Rest haben wollen, ist
[mm] $p(z_1) \oplus p(z_2)=((x+y) \text{ mod }3)\,.$
[/mm]
Andererseits ist per Definitionem
[mm] $p(z_1+z_2)=((z_1+z_2) \text{ mod }3)$ [/mm]
der kleinste nichtnegative Rest der Division von [mm] $(z_1+z_2)$ [/mm] durch 3. Wegen
[mm] $z_1+z_2 \equiv [/mm] x+y$ mod [mm] $3\,$ [/mm] folgt
[mm] $p(z_1) \oplus p(z_2)=p(z_1+z_2)\,.$
[/mm]
> Ist folgendes richtig?
>
> z = 3, dann ist 3 mod 3 = 0 und (3+3*1) mod 3 = 0 und und
> (3+3*2) mod 3 = 0 und (3+3*0) mod 3 = 0.
? Ne, man würde folgendes machen:
Ich schreibe mal [mm] $\textbf{0}\,,$ $\textbf{1}$ [/mm] und [mm] $\textbf{2}$ [/mm] für die Elemente aus [mm] $\IZ/(3*\IZ),$ [/mm] deren
Repräsentanten aus dem Repräsentantensystem [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] wohl bei dieser
Notation klar sind.
Es gilt
[mm] $\textbf{0} \oplus \textbf{0}=\textbf{0}$ [/mm] ($=((0+0) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{0} \oplus \textbf{1}=\textbf{1}$ [/mm] ($=((0+1) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{0} \oplus \textbf{2}=\textbf{2}$ [/mm] ($=((0+2) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{1} \oplus \textbf{0}=\textbf{1}$ [/mm] ($=((1+0) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{1} \oplus \textbf{1}=\textbf{2}$ [/mm] ($=((1+1) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{1} \oplus \textbf{2}=\textbf{0}$ [/mm] ($=((1+2) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{2} \oplus \textbf{0}=\textbf{2}$ [/mm] ($=((2+0) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{2} \oplus \textbf{1}=\textbf{0}$ [/mm] ($=((2+1) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$),
[/mm]
[mm] $\textbf{2} \oplus \textbf{2}=\textbf{1}$ [/mm] ($=((2+2) [mm] \text{ mod }3)+3*\IZ$).
[/mm]
Jetzt will man [mm] $p(18)\,$ [/mm] berechnen, wenn man etwa [mm] $p(7)\,$ [/mm] und [mm] $p(11)\,$ [/mm] kennt
(es ist bspw. [mm] $18=7+11\,.$)
[/mm]
Offenbar ist
[mm] $p(7)=\textbf{1}$ [/mm] (wegen [mm] $7=2*3+1\,$)
[/mm]
und
[mm] $p(11)=\textbf{2}$ [/mm] (wegen [mm] $11=3*3+2\,.$)
[/mm]
Wir sehen einerseits (schau in 'die obigen Gleichungen mit den fettgedruckten
Repräsentanten des Repräsentantensystems')
$p(7) [mm] \oplus p(11)=\textbf{1} \oplus \textbf{2}=\textbf{0}\,.$
[/mm]
Andererseits sehen wir auch
[mm] $p(7+11)=p(18)=\textbf{0}$
[/mm]
wegen [mm] $18=6*3+0\,.$ [/mm] Wir haben jetzt also "sehr speziell" mal
$p(7) [mm] \oplus [/mm] p(11)=p(7+11)$
nachgerechnet.
P.S. Bzgl. der Kongruenzrechnung empfehle ich immer wieder gerne das
Buch
"Elementare und algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski.
P.P.S. Du mußt auch oben ein wenig aufpassen: Wenn ich
[mm] $x\;\red{=}\;a$ [/mm] mod [mm] $m\,$ [/mm] (Gleichheitszeichen!)
schreibe, dann meint das, dass
[mm] $x=a-[a/m]*m\,$
[/mm]
als der kleinste nichtnegative Rest bei der Division von [mm] $a\,$ [/mm] durch [mm] $m\,$ [/mm] berechnet
oder ggf. definiert wird. (Hier ist $x [mm] \in [/mm] [0,m) [mm] \cap \IZ\,.$)
[/mm]
Wenn ich
[mm] $x\;\red{\equiv}\;a$ [/mm] mod [mm] $m\,$ [/mm] (lies 'x kongruent a modulo m')
schreibe (hier ist $x [mm] \in \IZ$), [/mm] dann bedeutet das nichts anderes als
$m | [mm] (x-a)\,,$
[/mm]
oder äquivalent ausgedrückt:
$(x [mm] \text{ mod }m)=(a \text{ mod }m)\,,$
[/mm]
d.h. [mm] $x\,$ [/mm] läßt bei der Division durch [mm] $m\,$ [/mm] den gleichen nichtnegativen Rest
wie [mm] $a\,$ [/mm] bei der Division durch [mm] $m\,.$
[/mm]
Und nur, damit es doch mal irgendwo steht: Für
[mm] $\textbf{r} \in \{\textbf{0},\textbf{1},\textbf{2}\}$
[/mm]
ist
[mm] $\textbf{r}:=r+3*\IZ=\{r+3*z:\;\;z \in \IZ\}$ [/mm] (auch hier soll es wieder so sein:
für [mm] $\textbf{r}=\textbf{0}$ [/mm] ist [mm] $r=0\,;$ [/mm] und analog)
und damit ist
[mm] $\IZ/(3*\IZ)=\{\textbf{0},\textbf{1},\textbf{2}\}\,.$
[/mm]
(In dieser Notation müsste oben also [mm] $p\,$ [/mm] eigentlich folgendes machen:
Für $z [mm] \in \IZ$ [/mm] dann [mm] $p(z)\,$ [/mm] zu bilden bedeutet
berechne $x:=(z [mm] \text{ mod } [/mm] 3)$ und mache die Ergebniszahl [mm] $x\,$ [/mm] danach fett!
Man könnte dies auch 'schöner schreiben', indem man formal korrekt direkt
[mm] $p_1 \colon \IZ \to \IZ/(3*\IZ)$
[/mm]
durch
[mm] $p_1(z):=(z \text{ mod }3)+3*\IZ$
[/mm]
definiert. Wobei es dann noch einfacher wäre
[mm] $p_2 \colon \IZ \to \IZ/(3*\IZ)$
[/mm]
mit
[mm] $p_2(z):=z+3*\IZ$
[/mm]
zu setzen. [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] sind gleich!)
Gruß,
Marcel
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puh, okay, danke für die ausführlichen Antworten. Da muss ich mich mal ein Weilchen mit beschäftigen :D Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Do 21.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> puh, okay, danke für die ausführlichen Antworten. Da muss
> ich mich mal ein Weilchen mit beschäftigen :D Danke!
wenn Du genau hinguckst, habe ich eigentlich die Homomorphismuseigenschaft
gerade hier:
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Zitat:
Ich schreibe mal $ [mm] \textbf{0}\,, [/mm] $ $ [mm] \textbf{1} [/mm] $ und $ [mm] \textbf{2} [/mm] $ für die Elemente aus $ [mm] \IZ/(3\cdot{}\IZ), [/mm] $ deren
Repräsentanten aus dem Repräsentantensystem $ [mm] \{0,1,2\} [/mm] $ wohl bei dieser
Notation klar sind.
Es gilt
$ [mm] \textbf{0} \oplus \textbf{0}=\textbf{0} [/mm] $ ($ =((0+0) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{0} \oplus \textbf{1}=\textbf{1} [/mm] $ ($ =((0+1) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{0} \oplus \textbf{2}=\textbf{2} [/mm] $ ($ =((0+2) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{1} \oplus \textbf{0}=\textbf{1} [/mm] $ ($ =((1+0) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{1} \oplus \textbf{1}=\textbf{2} [/mm] $ ($ =((1+1) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{1} \oplus \textbf{2}=\textbf{0} [/mm] $ ($ =((1+2) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{2} \oplus \textbf{0}=\textbf{2} [/mm] $ ($ =((2+0) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{2} \oplus \textbf{1}=\textbf{0} [/mm] $ ($ =((2+1) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $),
$ [mm] \textbf{2} \oplus \textbf{2}=\textbf{1} [/mm] $ ($ =((2+2) [mm] \text{ mod }3)+3\cdot{}\IZ [/mm] $).
Zitat Ende
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auch *tabellarisch* nachgerechnet. Aber eigentlich ist das auch etwas,
was per Definitionem der Addition [mm] $\oplus$ [/mm] auf [mm] $\IZ/(3\IZ)$ [/mm] folgt, und was dabei
das Wesentliche ist: Diese Addition ist wohldefiniert, also unabhängig von
der Wahl der Repräsentanten. Ich finde es viel wichtiger, sich diese
Wohldefiniertheit klarzumachen, denn wie gesagt:
Die gefragte "Homomorphie-Eigenschaft" folgt dann direkt per Definitionem.
Gruß,
Marcel
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Ich finde es auch nicht so hübsch, es gibt aber tatsächlich Quellen, die für Quotienten diese Schreibweise nutzen, etwa Francis Borceux in seiner Monographie über topostheoretische Galoistheorie, Galois theories . Auch sonst kenne ich die Schreibweise bei "größeren Quotienten", wie sie zum Beispiel bei Noethers Isomorphiesatz oder dem Schmetterlingslemma von Zassenhaus vorkommen. Ich bevorzuge jedoch den simplen Schrägstrich.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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