Was ist eine inverse Matrix < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 14.11.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ein Unternehmen produziert über drei Zwischenprodukte [mm] Z_1,Z_2, Z_3 [/mm] die Endprodukte [mm] E_1, E_2, E_3. [/mm] Wie viele Zwischenprodukte für ein Endprodukt benötigt werden, entnehme man der folgenden Matrix:
B [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 } [/mm] .
a) Wie viele Zwischenprodukte [mm] Z_1, Z_2, Z_3 [/mm] werden benötigt, um 6 ME [mm] E_1, [/mm] 7 ME [mm] E_2 [/mm] und 5 ME [mm] E_3 [/mm] herzustellen?
b) Wie viele Endprodukte können aus 34 [mm] Z_1, [/mm] 26 [mm] Z_2 [/mm] und 30 [mm] Z_3 [/mm] hergestellt werden? |
Moin,
die Rechenverfahren sind mir im Prinzip ziemlich klar, aber wie ich insbesondere darauf komme, so zu rechnen, wie in b) erforderlich, ist mir schleierhaft!
zu a)
Hier multipliziere ich B x [mm] \vektor{6 \\ 7 \\ 5}
[/mm]
zu b)
1. Was bedeutet eine inverse Matrix eigentlich inhaltlich?
- Ok, es gibt nicht zu allen Matrizen eine inverse Matrix.
- Die inverse Matrix ist eine Art Division; wobei mir schon klar ist, dass die Multiplikation zweier Matrizen nicht kommutativ ist.
- Und A x [mm] A^{-1} [/mm] = E (Einheitsmatrix)
Dennoch bleibt die Frage, was eine inverse Matrix inhaltlich überhaupt ist?
2. Wie komme ich auf den Ansatz zur Lösung von b) ?
Dazu müsste ich verstehen, was da inhaltlich eigentlich betrachtet wird!???
[mm] B^{-1} [/mm] x [mm] \vektor{34 \\ 26 \\ 30}
[/mm]
Bleibt die Frage, warum?
Danke & Gruß
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Hallo!
Naja, die inverse ist sowas wie eine Umkehrung. Bei reellen Zahlen würdest du einfach eine Division machen, aber das geht bei Matrizen eben nicht, daher suchst du eine andere Matrix, die die Wirkung deiner Matrix wieder aufhebt:
[mm] M*\vec{a}=\vec{b}
[/mm]
[mm] M^{-1}M*\vec{a}=M^{-1}\vec{b}
[/mm]
[mm] 1*\vec{a}=M^{-1}\vec{b}
[/mm]
Bei reellen Zahlen:
$2*a=y_$
$0,5*2*a=0,5*y_$
$a=0,5*y_$
Du siehst, du kommst bei der Rechnung ohne Division aus, allerdings brauchst du ein Verfahren, das dir das Inverse liefert. Bei reellen Zahlen machts du das doch irgendwo über nen Bruch, bei Matrizen mußt du ein paar Gleichungen lösen.
Ein anderes Beispiel wäre:
y=f(x)
Wenn man die inverse Funktion anwendet:
[mm] f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))
[/mm]
[mm] f^{-1}(y)=x
[/mm]
Auch hier sollte klar sein, daß sowas nicht immer existiert.
Also generell ist die inverse Matrix eine Umkehrfunktion zu einer gegebenen Funktion, wobei der Witz ist, daß man es bei beidem mit ner Matrix zu tun hat. Noch ein schönes Beispiel: Die Drehmatrix dreht einen Vektor um den Winkel [mm] \alpha [/mm] um den Ursprung:
[mm] R=\pmat{ \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha }
[/mm]
Du kannst nun gerne die Inverse dazu ausrechnen. Aber da die Inverse die Umkehrfunktion ist, dreht diese um den selben Winkel zurück, also:
[mm] R^{-1}=\pmat{ \cos (-\alpha) & -\sin (-\alpha) \\ \sin (-\alpha) & \cos (-\alpha) } [/mm] = [mm] \pmat{ \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha } [/mm]
Deine Ansätze sind übrigens völlig richtig!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 15.11.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
vielen Dank für deine Antwort.
Die 2. Frage ist allerdings nach wie vor offen. Bitte konkret auf die Problemstellung eingehen!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden und schreibe jetzt nichts, was du sowieso schon weißt. Ich will es mal versuchen:
[mm] \hline{}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
> Aufgabe
Ein Unternehmen produziert über drei ZWischenprodukte $ [mm] Z_1,Z_2, Z_3 [/mm] $ die Endprodukte $ [mm] E_1, E_2, E_3. [/mm] $ Wieviele Zwischenprodukte für ein Endprodukt benötigt werden, entnehme man der folgenden Matrix:
B $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 } [/mm] $ .
a) Wieviele Zwischenprodukte $ [mm] Z_1, Z_2, Z_3 [/mm] $ werden benötigt, um 6 ME $ [mm] E_1, [/mm] $ 7 ME $ [mm] E_2 [/mm] $ und 5 ME $ [mm] E_3 [/mm] $ herzustellen?
b) Wieviele Endprodukte können aus 34 $ [mm] Z_1, [/mm] $ 26 $ [mm] Z_2 [/mm] $ und 30 $ [mm] Z_3 [/mm] $ hergestellt werden?
[mm] \hline{}
[/mm]
Also, vielleicht erst einmal ein paar Worte zu Interpretation der Matrixeinträge.
[mm] B=\pmat{ \red{2} & \red{1} & \red{1} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 }
[/mm]
1. Zeile: Zur Produktion von einer Einheit [mm] E_1 [/mm] benötigen wir [mm] \red{2} [/mm] Einheiten des Zwischenproduktes [mm] Z_1, [/mm] Zur Produktion von einer Einheit [mm] E_2 [/mm] benötigen wir [mm] \red{1} [/mm] Einheit von [mm] Z_1 [/mm] und zur Produktion von einer Einheit [mm] E_3 [/mm] benötigen wir [mm] \red{1} [/mm] Einheit von [mm] Z_1. [/mm] Also benötigen wir insgesamt
[mm] \red{2}E_1+\red{1}E_2+\red{1}E_3=Z_1 [/mm] ( [mm] E_1,E_2,E_3 [/mm] als die Gesamtmenge der produzierten Endprodukte [mm] E_1,E_2,E_3.)
[/mm]
Für Zwischenprodukt [mm] Z_2 [/mm] und [mm] Z_3 [/mm] analog:
Wir haben also generell die Form:
[mm] B*E=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 }*\vektor{E_1 \\ E_2 \\ E_3}=\vektor{Z_1 \\Z_2 \\ Z_3}=Z
[/mm]
Wenn wir jetzt also die exakte Menge der zur Verfügung stehenden Zwischenprodukte kennen, kann das Gleichungssystem
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 }*\vektor{E_1 \\ E_2 \\ E_3}=\vektor{34 \\26\\ 30}
[/mm]
gelöst werden, 3 Gleichungen, 3 Unbekannte. Das kann entweder durch Gauß gelöst werden, oder durch Rechenregeln für Matrizen. Ist B Invertierbar (voller Rang), dann ist [mm] B\cdot{}E=Z\gdw{E=B^{-1}*Z}
[/mm]
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 19.11.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Ich habe mal beide Aufgabenteile über ein LGS zu lösen versucht, komme aber leider bei B nicht auf ein stimmiges Ergebnis. Wo ist der Fehler?
zu a)
Ausgehend von der transponierten Matrix [mm] B^T [/mm] erhalte ich drei Gleichungen:
[mm] 2*z_1 [/mm] + [mm] 1*z_2 [/mm] = [mm] e_1
[/mm]
[mm] 1*z_1 [/mm] + [mm] 1*z_3 [/mm] = [mm] e_2
[/mm]
[mm] 1*z_1 [/mm] + [mm] 2*z_2 +3*z_3 [/mm] = [mm] e_3
[/mm]
Diese Gleichungen multipliziere ich mit den Mengen für [mm] e_1, e_2, e_3, [/mm] d.h.
[mm] 2*z_1 [/mm] + [mm] 1*z_2 [/mm] = [mm] e_1 [/mm] |*6
[mm] 1*z_1 [/mm] + [mm] 1*z_3 [/mm] = [mm] e_2 [/mm] |*7
[mm] 1*z_1 [/mm] + [mm] 2*z_2 +3*z_3 [/mm] = [mm] e_3 [/mm] |*5
[mm] 12*z_1 [/mm] + [mm] 6*z_2 [/mm] = [mm] 6*e_1
[/mm]
[mm] 7*z_1 [/mm] + [mm] 7*z_3 [/mm] = [mm] 7*e_2
[/mm]
[mm] 5*z_1 [/mm] + [mm] 10*z_2 +15*z_3 [/mm] = [mm] 5*e_3
[/mm]
+
----------------------------------------------
[mm] 24*z_1 +16*z_2 [/mm] + [mm] 22*z_3 [/mm] = [mm] 6*e_1 [/mm] + [mm] 7*e_2 [/mm] + [mm] 5*e_3
[/mm]
Dasselbe Eregbnis bekomme ich über Matrizenmultiplikation
B x [mm] \vektor{6 \\ 7 \\ 5}.
[/mm]
zu b)
Ausgehend von der Matrix B erhalte ich drei Gleichungen:
[mm] 2*e_1 [/mm] + [mm] 1*e_2 +1*e_3 [/mm] = [mm] z_1
[/mm]
[mm] 1*e_1 [/mm] + [mm] 2*e_3 [/mm] = [mm] z_2
[/mm]
[mm] 1*e_2 +3*e_3 [/mm] = [mm] z_3
[/mm]
Diese Gleichungen multipliziere ich mit den Mengen für [mm] z_1, z_2, z_3, [/mm] d.h.
[mm] 2*e_1 [/mm] + [mm] 1*e_2 +1*e_3 [/mm] = [mm] z_1 [/mm] |*34
[mm] 1*e_1 [/mm] + [mm] 2*e_3 [/mm] = [mm] z_2 [/mm] |*26
[mm] 1*e_2 +3*e_3 [/mm] = [mm] z_3 [/mm] |*30
[mm] 68*e_1 [/mm] + [mm] 34*e_2 +34*e_3 [/mm] = [mm] 34*z_1
[/mm]
[mm] 26*e_1 [/mm] + [mm] 26*e_3 [/mm] = [mm] 26*z_2
[/mm]
[mm] 30*e_2 +90*e_3 [/mm] = [mm] 30*z_3
[/mm]
+
----------------------------------------------------
[mm] 94*e_1 [/mm] + [mm] 64*e_2 [/mm] + [mm] 176*e_3 [/mm] = [mm] 34*z_1 [/mm] + [mm] 26*z_2 [/mm] + [mm] 30*z_3
[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt nun aber nicht mit dem Ergebnis überein, dass ich über die inverse Matrix bekomme???
[mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & - \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2} & -1 & \bruch{1}{2}\\ - \bruch{1}{6}& \bruch{1}{3}& \bruch{1}{6}}
[/mm]
[mm] B^{-1} [/mm] x [mm] \vektor{34 \\ 26 \\ \green {30} } [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 6 \\ 8}
[/mm]
Was mache ich falsch?
Danke & Gruß
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> zu b)
>
> Ausgehend von der Matrix B erhalte ich drei Gleichungen:
>
> [mm]2*e_1[/mm] + [mm]1*e_2 +1*e_3[/mm] = [mm]z_1[/mm]
>
> [mm]1*e_1[/mm] + [mm]2*e_3[/mm] = [mm]z_2[/mm]
>
> [mm]1*e_2 +3*e_3[/mm] = [mm]z_3[/mm]
>
> Diese Gleichungen multipliziere ich mit den Mengen für
> [mm]z_1, z_2, z_3,[/mm] d.h.
>
>
> [mm]2*e_1[/mm] + [mm]1*e_2 +1*e_3[/mm] = [mm]z_1[/mm] |*34
>
> [mm]1*e_1[/mm] + [mm]2*e_3[/mm] = [mm]z_2[/mm] |*26
>
> [mm]1*e_2 +3*e_3[/mm] = [mm]z_3[/mm] |*30
>
>
> [mm]68*e_1[/mm] + [mm]34*e_2 +34*e_3[/mm] = [mm]34*z_1[/mm]
>
> [mm]26*e_1[/mm] + [mm]26*e_3[/mm] = [mm]26*z_2[/mm]
>
> [mm]30*e_2 +90*e_3[/mm] = [mm]30*z_3[/mm]
> +
> ----------------------------------------------------
> [mm]94*e_1[/mm] + [mm]64*e_2[/mm] + [mm]176*e_3[/mm] = [mm]34*z_1[/mm] + [mm]26*z_2[/mm] + [mm]30*z_3[/mm]
>
>
> Dieses Ergebnis stimmt nun aber nicht mit dem Ergebnis
> überein, dass ich über die inverse Matrix bekomme???
>
> [mm]B^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & - \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2} & -1 & \bruch{1}{2}\\ - \bruch{1}{6}& \bruch{1}{3}& \bruch{1}{6}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]B^{-1}[/mm] x [mm]\vektor{34 \\ 26 \\ \red{30} }[/mm] = [mm]\vektor{10 \\ 6 \\ 8}[/mm]
>
>
> Was mache ich falsch?
Hallo,
Das Ergebnis, welches Du mit der inversen Matrix erhältst, ist richtig.
Dein aufgestelltes Gleichungssystem paßt aber überhaupt nicht zur Aufgabenstellung:
wir wissen aus der Produktionsmatrix:
für eine Einheit [mm] E_1 [/mm] benötigen wir 2 Einheiten [mm] Z_1, [/mm] 1 Einheit [mm] Z_2 [/mm] , also
[mm] E_1=2Z_1 [/mm] + [mm] 1Z_2, [/mm] entsprechend
[mm] E_2=1Z_1+Z_3
[/mm]
[mm] E_3=Z_1+2Z_2+2Z_3.
[/mm]
Entsprechend benötigen wir für x bzw. y bzw. z Einheiten von [mm] E_{1,2,3}
[/mm]
[mm] xE_1=2xZ_1 [/mm] + [mm] 1xZ_2, [/mm] entsprechend
[mm] yE_2=1yZ_1+yZ_3
[/mm]
[mm] zE_3=zZ_1+2zZ_2+3zZ_3,
[/mm]
dh für die Produktion von [mm] xE_1+yE_2+zE_3 [/mm] benötigt man
[mm] (2x+y+z)Z_1,
[/mm]
[mm] (y+2z)Z_2
[/mm]
[mm] (y+3z)Z_3,
[/mm]
und aus den vorgegebenen Einheiten für [mm] Z_{1,2,3} [/mm] ergibt sich das zu lösende GS.
Du schriebst
> Ausgehend von der Matrix B erhalte ich drei Gleichungen:
>
> [mm]2*e_1[/mm] + [mm]1*e_2 +1*e_3[/mm] = [mm]z_1[/mm]
Das stimmt doch nicht:
Wenn ich [mm] 2E_1, 1E_2 [/mm] und [mm] 1E_3 [/mm] produziere, dann benötige ich
2*2 [mm] +1+1=5Z_1.
[/mm]
Ebenso die anderen.
> [mm]1*e_1[/mm] + [mm]2*e_3[/mm] = [mm]z_2[/mm]
>
> [mm]1*e_2 +3*e_3[/mm] = [mm]z_3[/mm]
Und dann wollen wir ja Mengen x,y,z von [mm] E_{1,2,3} [/mm] produzieren, so daß wir mit insgesamt [mm] 34Z_1, 26Z_2 [/mm] und [mm] 30Z_3 [/mm] auskommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Do 19.11.2009 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank!
> > zu b)
>
> Dein aufgestelltes Gleichungssystem paßt aber überhaupt
> nicht zur Aufgabenstellung:
>
> wir wissen aus der Produktionsmatrix:
>
> für eine Einheit [mm]E_1[/mm] benötigen wir 2 Einheiten [mm]Z_1,[/mm] 1
> Einheit [mm]Z_2[/mm] , also
> [mm]E_1=2Z_1[/mm] + [mm]1Z_2,[/mm] entsprechend
> [mm]E_2=1Z_1+Z_3[/mm]
> [mm]E_3=Z_1+2Z_2+2Z_3.[/mm]
>
> Entsprechend benötigen wir für x bzw. y bzw. z Einheiten
> von [mm]E_{1,2,3}[/mm]
>
> [mm]xE_1=2xZ_1[/mm] + [mm]1xZ_2,[/mm] entsprechend
> [mm]yE_2=1yZ_1+yZ_3[/mm]
> [mm]zE_3=zZ_1+2zZ_2+3zZ_3,[/mm]
>
> dh für die Produktion von [mm]xE_1+yE_2+zE_3[/mm] benötigt man
>
> [mm](2x+y+z)Z_1,[/mm]
> [mm](\red{x}+2z)Z_2[/mm]
> [mm](y+3z)Z_3,[/mm]
>
> und aus den vorgegebenen Einheiten für [mm]Z_{1,2,3}[/mm] ergibt
> sich das zu lösende GS.
>
>
> Du schriebst
>
> > Ausgehend von der Matrix B erhalte ich drei Gleichungen:
> >
> > [mm]2*e_1[/mm] + [mm]1*e_2 +1*e_3[/mm] = [mm]z_1[/mm]
Hier habe ich den Ansatz von herrn "barsch" übernommen; der dann wohl nicht stimmt. ok.
>
> Das stimmt doch nicht:
>
> Wenn ich [mm]2E_1, 1E_2[/mm] und [mm]1E_3[/mm] produziere, dann
> benötige ich
>
> 2*2 [mm]+1+1=5Z_1.[/mm]
>
> Ebenso die anderen.
>
Alles klar. 
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