Weierstraß-Test < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionsfolge:
fn(x) := (nx) / [mm] (1+n^2*x^2) [/mm] für alle nN, x[0,1]
Zeigen sie, dass fn auf jedem Intervall [a,1], mit 0<a<1 gleichmäßig konvergiert.
Liegt auch auf [0,1] gleichmäßige Konvergenz vor ? |
Hallo,
leider haben wir im Skript nur ein Satz zum Weierstraß-Test, und zwar wenn eine [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] < [mm] \infty [/mm] und es existiert ||fn(x)|| < Folgenglieder, dann konvergiert die Summe von fn gleichmäßig.
Leider hilft mir dieser eine Satz überhaupt nicht beim Lösen der Aufgabe.
Könnte mir da jemand bitte helfen ?
DANKE
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
bitte löschen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die Funktionsfolge:
> fn(x) := (nx) / [mm](1+n^2*x^2)[/mm] für alle nN, x[0,1]
> Zeigen sie, dass fn auf jedem Intervall [a,1], mit 0<a<1
> gleichmäßig konvergiert.
> Liegt auch auf [0,1] gleichmäßige Konvergenz vor ?
> Hallo,
> leider haben wir im Skript nur ein Satz zum
> Weierstraß-Test, und zwar wenn eine [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] und es existiert ||fn(x)|| < Folgenglieder, dann
> konvergiert die Summe von fn gleichmäßig.
das, was Du da schreibst, macht ja auch überhaupt keinen Sinn. Für die "Wahrheit":
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Es geht hier aber zum Glück gar nicht um [mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$, [/mm] sondern nur um die Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Ich behaupte mal, dass Du, wenn $0 < a < 1$ ist, schnell einsehen wirst, dass hier für alle $x [mm] \in [/mm] [a,1]$ und alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $(\star)$ $|f_n(x)| \le \frac{1}{a^2}*\frac{1}{n}$ [/mm]
(Warum gilt das?)
Wenn ich nun also $f(x):=0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,1]$ setze:
Was ist mein $f$? Welche Aussage liefert [mm] $(\star)$ [/mm] für die glm. Konvergenz von [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$? [/mm] (Beachte dabei: [mm] $|f_n(x)|=|f_n(x)-f(x)|$.)
[/mm]
Und um zu zeigen, dass die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] nicht glm. auf $[0,1]$ konvergiert:
Auf $[0,1]$ konvergiert die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] punktweise gegen [mm] $f(x):\equiv [/mm] 0$, wenn wir hier $f$ auf $[0,1]$ definiert betrachten.
Aber:
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachte mal den Punkt [mm] $x_n:=\frac{1}{n} \in [/mm] [0,1]$. Was ist [mm] $f_n(x_n)$? [/mm] Was folgt damit für [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,1]\}$? [/mm] Wieso folgt damit, dass die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auf $[0,1]$ nicht glm. konvergent sein kann?
Gruß,
Marcel
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